Aufgabe 1. Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, X : Ω → R eine Zufallsvariable und F

Technische Universit¨ at Chemnitz Stochastik Fakult¨ at f¨ ur Mathematik

Prof. Dr. I. Veseli´ c, F. Schwarzenberger, M. Tautenhahn

Hausaufgabe 7

Abgabe bis 9./10. Juni 07:30

Aufgabe 1. Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, X : Ω → R eine Zufallsvariable und F

: R → [0, 1] die zugeh¨ orige Verteilungsfunktion. Beweisen Sie die folgenden f¨ unf Eigenschaften

(a) F

: R → [0, 1] ist monoton wachsend, (b) F

ist rechtsstetig, d.h. lim

y&c

F

(y) = F

(c), (c) F

(c) − lim

F

(y) = P

({c}),

(d) F

ist stetig bei c ⇔ P

({c}) = 0,

(e) Ist X P -fast-sicher reellwertig, d.h. P (X ∈ R ) = 1, dann gilt lim

F

(c) = 0 und lim

F

(c) = 1.

Beachte, R ist mit der Borel-σ-Algebra ausgestattet und P

: B( R ) → [0, 1] ist eindeutig festgelegt durch F

([−∞, c]) = P (X ≤ c) f¨ ur beliebiges c ∈ R .

Aufgabe 2. Sei F : R → R eine monotone Funktion. Zeigen Sie (a) F hat h¨ ochstens abz¨ ahlbar viele Unstetigkeitstellen,

(b) F ist (B( R )- B( R ))-messbar.

Aufgabe 3. Fabian und Martin spielen B¨ urostuhlrennen. Sie liefern sich jeden Tag ein Rennen. Der Sieger eines Rennens bekommt einen Punkt. Die Wahrscheinlichkeit, dass Fabian gewinnt sei 1 > α > 1/2. Die Wahrscheinlichkeit, dass Martin gewinnt sei entsprechend β = 1 − α. Der Spieler, der mit zwei Punkten f¨ uhrt gewinnt das Duell.

(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Fabian das Duell?

(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Martin das Duell?

(c) W¨ are es f¨ ur Fabian besser, wenn derjenige das Duell gewinnt, der das erste Spiel gewinnt?

(d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Duell nie endet?

Aufgabe 4. Seien p ∈ (0, 1), X

∈ {0, 1}, k ∈ N unabh¨ angige, Bernoulli-p-verteilte

Zufallsvariablen und T = inf{k ∈ N | X

= 1}. Berechnen Sie den Erwartungswert von

T .