Aufgabe 1 (Bonferroni Ungleichung). Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A 1 , . . . , A k ∈ A. Zeigen Sie

Technische Universit¨ at Chemnitz Stochastik Fakult¨ at f¨ ur Mathematik

Prof. Dr. I. Veseli´ c, F. Schwarzenberger, M. Tautenhahn

Ubungsblatt 4 ¨

Aufgabe 1 (Bonferroni Ungleichung). Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A ₁ , . . . , A _k ∈ A. Zeigen Sie

P ( _k

[

i=1

A _i )

≥

k

X

i=1

P {A _i } − X

1≤i<j≤k

P {A _i ∩ A _j }.

Aufgabe 2. In jeder Packung Corn Flakes befindet sich eins der Abziehbilder von n ≥ 11 verschiedenen Fußballspielern, darunter 11 Nationalspielern. Alle Bilder treten gleich h¨ aufig und unabh¨ angig voneinander auf. Wer die Bilder aller 11 Nationalspieler gesammelt hat, gewinnt eine Reise nach S¨ udafrika zur Weltmeisterschaft. Um die Reise mit guten Chancen zu gewinnen, kauft Fabian 3n Packungen.

Zeigen Sie, daß die Wahrscheinlichkeit, alle 11 Nationalspieler zu erhalten, zwischen 1 − 11(1 − 1/n) ³ⁿ und 1 − 11(1 − 1/n) ³ⁿ + 55(1 − 2/n) ³ⁿ liegt. Welchen Wert haben diese Schranken f¨ ur sehr große n? Hinweis: Die Formel aus Aufgabe 1 k¨ onnte f¨ ur die Absch¨ atzung nach oben n¨ utzlich sein.

Aufgabe 3. Zeigen oder widerlegen Sie, daß jede der folgenden Funktionen eine Wahr- scheinlichkeitsdichte ist und skizzieren sie ihren Graph.

(a) f : (0, 2) → R , f(x) = 1 − |1 − x|.

(b) f : R → R , f(x) = _π ¹ _β

+(x−a) ^β

, β > 0, a ∈ R . (c) f : R → R , f(x) = _2σ ¹ e ^{−(|x−µ|)/σ} , σ > 0, µ ∈ R . (d) f : (0, ∞) → R , f (x) = ¹ ₄ xe ^−x/2 .

Aufgabe 4. Es seien X und Y reellwertige Zufallsgr¨ oßen auf einem Wahrscheinlichkeits- raum (Ω, A, P ). Zeigen Sie:

(a) Falls Y mit Wahrscheinlichkeit Eins konstant ist, so sind X und Y unabh¨ angig.

(b) Sind X und Y unabh¨ angig, so gilt f¨ ur jedes A ∈ σ(X) ∩ σ(Y ) P {A} = 0 oder P {A} = 1.

(c) Sei Y nichtnegativ. Y ist genau dann σ(X)-messbar, wenn es eine Borel-messbare Funktion g : R → [0, ∞] gibt mit Y = g ◦ X.

Hinweis: F¨ ur Teil (c) k¨ onnte ein Approximationssatz aus der Maßtheorie n¨ utzlich sein.