Aufgabe 1. Sei A = A

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Prof. C. P. Schnorr Sommersemester 2016

Gitter und Kryptographie

Blatt 1, Freitag, 15.04.2016, Abgabe Freitag, 22.04.2016

Aufgabe 1. Sei A = A

^t

= [a

_i,j

] ∈ R

^n×n

und die Untermatrizen der er- sten i Zeilen unf Spalten von A seien regulär. Zeige, dass es eine eindeutige Zerlegung A = R

^t

DR gibt, derart, dass R = [r

_i,j

] ∈ R

^n×n

eine obere Drei- ecksmatrix ist (also r

_i,j

= 0 für i > j) mit r

_i,i

> 0 und D Diagonalmatrix mit Diagonale (σ

₁

, . . . , σ

_n

) ∈ {±1}

ⁿ

.

Hinweis LR-Zerlegung der Numerik.

Aufgabe 2. Zeige für jede Basis b

₁

, ..., b

_n

∈ Z

^m

und D

_i

:= (det L(b

₁

, ..., b

_i

))

²

: 1. D

i−1

b

^∗_i

∈ Z

^m

, 2. D

_j

µ

_i,j

∈ Z für j < i.

Hinweis: Lemma 4.2.3, Skript.

Aufgabe 3. Seien B = QR, Q

⁰

R

⁰

= B

⁰

QR–Zerlegungen. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

1. B, B

⁰

sind isometrisch 2. R, R

⁰

sind isometrisch 3. R

^t

R = R

^0t

· R

⁰

4. R = R

⁰

Hinweis: Lemma 1.1.3 des Skripts zeigt einen Teil der Aufgabe.

Punktzahl 5 fuer Aufgaben 1,2 und 8 fuer Aufgabe 3