Aufgabe 1: Sei L a = L(B a ), a ∈ [1, A] n das Gitter von Kor. 5.4.1. Zeige:

Prof. C. P. Schnorr Sommersemester 2016

Gitter und Kryptographie

Blatt 7, 27.05.2016, Abgabe 03.06.2016

Aufgabe 1: Sei L _a = L(B _a ), a ∈ [1, A] ⁿ das Gitter von Kor. 5.4.1. Zeige:

Nach Randomisieren von a _j zu a ^∗ _j ∈ _R [1, A], A > 2 ^n/0,9408 und L _a zu L _a

gilt:

Mit Ws 1 − o(1) bzgl. a ^∗ _j gibt es in L _a

keinen Vektor b = P

i6=j y _i b _i + y _j b ^∗ _j mit ||b|| ² ≤ n/4 mit y _j 6= 0. Hinweis: Beweis zu Kor. 5.4.1 und Satz 5.3.1.

R ⁰ ₁₀ = 1

√ 2

2 1 1 0 0 0 0 0 0 0

0 √ 3 ^{√ 1}

3

√ 2

3 0 0 0 0 0 0

0 0 q 8

3

q 2 3

q 3

2 0 0 0 0 0

0 0 0 √

2 ^{√ 1}

2

√ 2 0 0 0 √ 2

0 0 0 0 √

2 ^{√ 1} ₂ √

2 0 √

2 0

0 0 0 0 0

q 3 2

q 2 3

q 8

3 0 0

0 0 0 0 0 0 ^{√ 2} ₃ ^{√ 1} ₃ 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Aufgabe 2. Zeige mit Le. 2.2.3 dass λ ² ₁ ∈ N für L(R ⁰ ₁₀ ). Beweise λ ² ₁ = 1.

Aufgabe 3: Sei B =



 I _n

a



 ∈ R ^(n+1)×n mit a = (a ₁ , . . . , a _n ) Zeige: det B ^t B = 1 + P n

i=1 a ² _i .

Hinweis: B ^t B hat die Eigenwerte 1 (n − 1)–mal sowie 1 + P n

i=1 a ² _i einmal zu

Eigenvektoren (−a ₂ , a ₁ , 0, . . . , 0) ^t , . . . , (−a _n , . . . , a ₁ ) ^t , (a ₁ , a ₂ , . . . , a n−1 , a _n ) ^t ∈

R ⁿ . Punktzahl 6 pro Aufgabe