Universit¨at Konstanz Sabine Burgdorf Fachbereich Mathematik und Statistik Mar´ıa L´opez Quijorna
Sommersemester 2018 Markus Schweighofer
Ubungsblatt 10 zur Linearen Algebra II¨
Aufgabe 1: SeiK ein K¨orper.
(a) Zeige, dass
A:=
( a+
n
X
i=2
aiXi
a, a2, . . . , an∈K )
ein Unterring des PolynomringesK[X] ist.
(b) Begr¨unde, warum A ein Integrit¨atsring ist.
(c) Bestimme die Einheitengruppe A×.
(d) Zeige, dass in A jedes Element assoziiert ist zu einem Produkt von irreduziblen Elementen vonA.
(e) Sind die PolynomeX2 undX3 inAirreduzibel? Sind sie prim?
(f) IstA faktoriell?
(g) Schreibe X6 und X7 auf alle m¨oglichen Weisen als Produkt von normierten irredu- ziblen Elementen von A.
(h) BesitzenX6 undX7 eine Primfaktorzerlegung inA?
(i) BesitzenX6 undX7 inAeinen ggT? Falls ja, welchen?
(j) BesitzenX6 undX7 inAein kgV? Falls ja, welches?
Aufgabe 2: Bestimme (h¨andisch) die Primfaktorzerlegung von (a) 108−1 in Z,
(b) X3−X2+X−1 inF7[X] und
(c) X5−X4+ 3X3−3X2+ 2X−2 in R[X].
Aufgabe 3:Seien A ein Integrit¨atsring unda, b∈A. Sei cein ggT und dein kgV von aund b. Zeigeab=b cd.
Hinweis: Es gibt einen kurzen einfachen Beweis, der aber nicht ganz einfach zu finden ist. Falls Du ihn nicht findest, so zeige die Behauptung zumindest f¨ur den Fall, dass A faktoriell ist.
Abgabe bis Freitag, den 29. Juni 2018, um 9:55 Uhr in das Fach Ihres Tutors neben dem Raum F411.