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(a) Zeige, dass A

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Universit¨at Konstanz Sabine Burgdorf Fachbereich Mathematik und Statistik Mar´ıa L´opez Quijorna

Sommersemester 2018 Markus Schweighofer

Ubungsblatt 10 zur Linearen Algebra II¨

Aufgabe 1: SeiK ein K¨orper.

(a) Zeige, dass

A:=

( a+

n

X

i=2

aiXi

a, a2, . . . , an∈K )

ein Unterring des PolynomringesK[X] ist.

(b) Begr¨unde, warum A ein Integrit¨atsring ist.

(c) Bestimme die Einheitengruppe A×.

(d) Zeige, dass in A jedes Element assoziiert ist zu einem Produkt von irreduziblen Elementen vonA.

(e) Sind die PolynomeX2 undX3 inAirreduzibel? Sind sie prim?

(f) IstA faktoriell?

(g) Schreibe X6 und X7 auf alle m¨oglichen Weisen als Produkt von normierten irredu- ziblen Elementen von A.

(h) BesitzenX6 undX7 eine Primfaktorzerlegung inA?

(i) BesitzenX6 undX7 inAeinen ggT? Falls ja, welchen?

(j) BesitzenX6 undX7 inAein kgV? Falls ja, welches?

Aufgabe 2: Bestimme (h¨andisch) die Primfaktorzerlegung von (a) 108−1 in Z,

(b) X3−X2+X−1 inF7[X] und

(c) X5−X4+ 3X3−3X2+ 2X−2 in R[X].

Aufgabe 3:Seien A ein Integrit¨atsring unda, b∈A. Sei cein ggT und dein kgV von aund b. Zeigeab=b cd.

Hinweis: Es gibt einen kurzen einfachen Beweis, der aber nicht ganz einfach zu finden ist. Falls Du ihn nicht findest, so zeige die Behauptung zumindest f¨ur den Fall, dass A faktoriell ist.

Abgabe bis Freitag, den 29. Juni 2018, um 9:55 Uhr in das Fach Ihres Tutors neben dem Raum F411.

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Hinweis: Dies erledigt mit deutlich mehr Theorie als damals verf¨ ugbar noch einmal den schwierigsten Teil der ohne solche Hilfsmittel sehr schweren Aufgabe 10.

Mit anderen Worten: Erf¨ ullt f nahezu ¨ uberall lokal die Homomorphiebedingung, so ist f global gesehen sehr nahe an einem Homomorphismus.