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Aufgabe 1. Sei A = A

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Prof. C. P. Schnorr Sommersemester 2014

Gitter und Kryptographie

Blatt 1, 23.04.2014, Abgabe Mittwoch, 30.04.2014

Aufgabe 1. Sei A = A

t

= [a

i,j

] ∈ R

n×n

regulär. Zeige, dass es eine ein- deutige Zerlegung A = R

t

DR gibt, derart, dass R = [r

i,j

] ∈ R

n×n

eine obere Dreiecksmatrix ist (also r

i,j

= 0 für i > j) mit r

i,i

> 0 und D Diagonalmatrix mit Diagonale (σ

1

, . . . , σ

n

) ∈ {±1}

n

.

Aufgabe 2. Zeige für jede Basis b

1

, ..., b

n

∈ Z

m

und D

i

:= (det L(b

1

, ..., b

i

))

2

: 1. D

i−1

b

∗i

∈ Z

m

, 2. D

j

µ

i,j

∈ Z für j < i.

Hinweis: Lemma 4.2.3, Skript.

Aufgabe 3. Seien B = QR, Q

0

R

0

= B

0

QR–Zerlegungen. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

1. B, B

0

sind isometrisch 2. R, R

0

sind isometrisch 3. R

t

R = R

0t

· R

0

4. R = R

0

Punktzahl 5 fuer Aufgaben 1,2 und 8 fuer Aufgabe 3

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