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a) Zeige, dass keine Matrix A ∈ GL

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Academic year: 2021

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Prof. Dr. M. Rapoport SS 2004 Dr. U. G¨ ortz

Lineare Algebra II 11. ¨ Ubungsblatt

Abgabe: Dienstag, 13.07.04 in der Vorlesung

Aufgabe 1

a) Zeige, dass keine Matrix A ∈ GL

2

( R ) existiert, so dass sowohl A

0 1 1 0

t

A

als auch A

1 0 0 −1

t

A Diagonalmatrizen sind.

b) Sei K ein K¨ orper, a, b ∈ K. Zeige: es gibt genau dann eine Matrix A ∈ GL

2

(K) mit

A

a 0 0 b

t

A =

1 0 0 ab

,

wenn die Gleichung ax

2

+ by

2

= 1 eine L¨ osung x, y ∈ K besitzt.

Aufgabe 2

Sei V

n

der R -Vektorraum der Polynome vom Grad ≤ n mit reellen Koeffizienten, und sei b : V

n

× V

n

−→ R definiert durch

b(p, q) = Z

1

−1

p(x)q

0

(x)dx.

a) Zeige, dass b eine Bilinearform ist, schreibe b als Summe einer symmetrischen Bilinearform b

s

und einer antisymmetrischen Bilinearform b

a

und forme b

s

in einen Ausdruck um, in dem kein Integral mehr auftritt.

b) Berechne den Signaturtyp von b

s

und gib eine Basis von V

n

an, bez¨ uglich der b

s

durch eine Diagonalmatrix mit Eintr¨ agen 1, 0, −1 beschrieben wird.

c) Bestimme eine Basis von V

4

, bez¨ uglich der b

a

durch die Matrix

0 1 0 0 0

−1 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 −1 0 0

0 0 0 0 0

beschrieben wird.

(2)

Aufgabe 3

Der R-Vektorraum V = M

n

(R) sei mit der symmetrischen Bilinearform b : V × V −→ R , b(A, B) = Spur(AB)

versehen. F¨ ur A ∈ V sei V

A

= {p(A); p ∈ R [X]}. Die Einschr¨ ankung von b auf V

A

× V

A

werde mit b

A

bezeichnet.

a) Sei V

s

⊂ V der Unterraum der symmetrischen, und V

a

⊂ V der Unterraum der antisymmetrischen Matrizen. Untersuche, ob die Einschr¨ ankung von b auf V

s

× V

s

(bzw. auf V

a

× V

a

) positiv definit, negativ definit oder indefinit ist.

b) Bestimme den Signaturtyp von b.

c) Zeige: Sind A, B ∈ M

n

( R ) ¨ ahnlich, so haben b

A

und b

B

denselben Signatur- typ.

d) (Zusatzaufgabe) Berechne den Signaturtyp von b

A

und gib eine Basis von V

A

an, bez¨ uglich der b

A

durch eine Diagonalmatrix beschrieben wird, wobei

A =

−1 2 0 −1

2 1

−1 2

∈ M

4

( R ).

Aufgabe 4

Sei (V, β) ein quadratischer Raum ¨ uber R , und sei n = dim V . F¨ ur k = 1, . . . , n

sei d

k

die k-te Hauptdeterminante der Fundamentalmatrix B

β

bez¨ uglich ei-

ner beliebigen Basis. Es sei d

k

6= 0 f¨ ur alle k. Zeige, dass der Tr¨ agheitsin-

dex von (V, β) gerade gleich der Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge

1, d

1

, d

2

, . . . , d

n

ist.

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