Sei G = (V, E) eine planare Einbettung eines schlichten Graphen mit n ≥ 3. Be- weisen Sie, dass folgende drei Aussagen äquivalent sind:

13. Übungsblatt

Automatisches Zeichnen von Graphen

Prof. Dr. Jens M. Schmidt, Dr. Alexander Apke, Arne Heimendahl, David Könen und Robin Kühling.

Aufgabe 1: Maximal planare Graphen (10 Punkte)

Sei G = (V, E) eine planare Einbettung eines schlichten Graphen mit n ≥ 3. Be- weisen Sie, dass folgende drei Aussagen äquivalent sind:

(i) |E| = 3|V | − 6.

(ii) G ist eine Triangulation, in der auch die äußere Fläche durch ein Dreieck begrenzt ist.

(iii) G ist maximal planar.

Aufgabe 2: Kanonische Ordnungen und Shift-Algorithmus (10 Punkte) (i) Finden Sie eine kanonische Ordnung des abgebildeten maximal planaren Gra-

phen G.

1 2

n

(ii) Berechnen Sie anhand der gefunden kanonischen Ordnung eine geradlinige planare Zeichnung von G mit Hilfe des Shift-Algorithmus. Zeichnen Sie die einzelnen Schritte auf dem Einheitsgitter.

Aufgabe 3: st-Numberings planarer Graphen (10 Punkte)

Sei G = (V, E) eine planare Einbettung eines 2-zusammenhängenden Graphen und

sei v

, . . . , v

ein st-numbering von G. Für jeden Knoten v

sei dessen zyklische

Adjazenzliste L

im Uhrzeigersinn der Einbettung gegeben. Zeigen Sie, dass die

Mengen {v

∈ N (v

) : j < i} und {v

∈ N (v

) : j > i} jeweils konsekutiv in der

Adjazenzliste L

vorkommen (der erste Eintrag von L

gilt dabei als Nachfolger des

letzten).