1. a) Es sei (Ω, A , P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und es sei (A n ) eine Folge von Ereig- nissen aus A . Beweisen Sie, dass aus A := lim inf A n = lim sup A n die Beziehung

Prof. Dr. Uwe K¨ uchler Sommersemester 2007 Institut f¨ ur Mathematik

Stochastik I

L¨ osungsans¨ atze zur 1. Zusatz¨ ubung

1. a) Es sei (Ω, A , P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und es sei (A n ) eine Folge von Ereig- nissen aus A . Beweisen Sie, dass aus A := lim inf A n = lim sup A n die Beziehung

n lim →∞ P(A ⁿ ) = P (A) folgt.

b) Zeigen Sie, dass gilt

lim supA n = lim sup A n

lim inf A n = lim inf A n

c) Bestimmen Sie lim inf n→∞ A n und lim sup n →∞ A n f¨ ur

A n =

A f¨ ur n = 2k(k ∈

) B f¨ ur n = 2k + 1(k ∈

).

L¨ osung: a) Es ist \

m≥n

A m

| {z }

:=B n

⊆ A n ⊆ [

m≥n

A m

| {z }

=:C n

, wobei B n monoton w¨achst und C n mono-

ton f¨allt. Wir wenden die Monotonie von P und die Folgerung 3.8 aus der σ-Stetigkeit von P an um zu schließen

n→∞ lim P(B n ) = P ( [ ∞

n=1

B n

| {z }

=lim inf A n

) ≤ lim

n→∞ P (A n ) ≤ P (

\ ∞

n=1

C n

| {z }

=lim sup A n

) = lim

n→∞ P (C n )

Mit der Voraussetzung folgt nun P (A) ≤ lim

n→∞ P(A n ) ≤ P (A) und damit die Behaup- tung.

b) lim sup A n (ω) =

1 falls ω ∈ lim sup A n

o sonst ω ∈ lim sup A n = T ∞

n=1

S

m≥n A m gdw. ∀n∃m ≥ n : A m (ω) = 1 gdw. lim sup A n = 1.

Die Gleichung f¨ ur lim inf A n folgt analog.

c) F¨ ur alle n ≥ 2 ist T

m≥n A m = A ∩ B, damit folgt lim inf n→∞ A n = A ∩ B.

F¨ ur alle n ≥ 2 ist S

m≥n A m = A ∪ B, damit folgt lim sup n →∞ A n = A ∪ B.

2. Peter und Paul werfen je einen regul¨aren W¨ urfel. Peter gewinnt, falls seine Augenzahl echt gr¨oßer als die von Paul ist.

Angenommen, beide spielen das Spiel f¨ unf mal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,

dass Peter mindestens viermal gewinnt?

L¨ osung: Ein Spiel hat die 36 gleichwahrscheinlichen m¨oglichen Ausg¨ange Ω = {(i, j) :

i, j = 1, . . . , 6}. In 15 von diesen 36 Spielausg¨angen gewinnt Peter. Die Wahrschein-

lichkeit, dass Peter in einem Spiel gewinnt betr¨agt 15/36. Das Ereignis ’Peter gewinnt

in mindestens 4 Spielen’ ist die disjunkte Vereinigung der Ereignisse ’Peter gewinnt

in genau 4 Spielen’ und ’Peter gewinnt in genau 5 Spielen’ und berechnet sich als

p = 5 · ( ¹⁵ ₃₆ ) ⁴ · ²¹ ₃₆ + ( ¹⁵ ₃₆ ) ⁵ ≈ 0, 1 .