Grenzwert a = lim n→∞ a n ⇔

3.4 Folgen

Grenzwert a = lim _n→∞ a n ⇔

∀ ε > 0 ∃ n ε ∀ n > n ε : | a n − a | < ε

Rechenregeln f¨ ur Grenzwerte

a n → a und b n → b = ⇒

• lim

n→∞ (a n ± b n ) = a ± b

• lim

n →∞ (a n b n ) = ab

• lim

n→∞ (a n /b n ) = a/b, falls b 6 = 0 Cauchy-Kriterium

Konvergenz von (a n ) ⇔

∀ ε > 0 ∃ n ε ∀ j, k > n ε : | a j − a k | < ε

Monotone Konvergenz einer Folge

a n ≤ a n+1 ≤ · · · ≤ c = ⇒ Konvergenz gegen Grenzwert a ≤ c

analog: Konvergenz monoton fallender, nach unten beschr¨ankter Folgen

Uneigentliche Grenzwerte lim n →∞ a n = ∞ ⇔

∀ a > 0 ∃ n a ∀ n > n a : a n > a analog: a n → −∞

Limes Inferior und Limes Superior

lim

n →∞

a _n = lim

n→∞ a _n , a _n = inf

k ≥ n a _k

n→∞ lim a n = lim

n→∞ a n , a n = sup

k ≥ n

a k

lim

n→∞ a n = a = lim

n →∞ a n = ⇒ Konvergenz von (a n ) gegen a Vergleichskriterium f¨ ur Folgen

lim a n = a, lim c n = c und a n ≤ b n ≤ c n f¨ur n > n 0 = ⇒

a ≤ lim b n ≤ lim b n ≤ c a = c = ⇒ Konvergenz von (b n )

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H¨ aufungspunkt einer Folge

Grenzwert a einer konvergenten Teilfolge von (a n )

⇔ jedes Intervall (a − ε, a + ε), ε > 0, enth¨alt unendlich viele Folgenelemente Rekursive Approximation von Pi

a n , b n : halbe Umf¨ange der um- bzw. einbeschriebenen (6 · 2 ⁿ )-Ecke eines Einheitskreises rekursiv definierte, gegen π = 3.1415926535897932 . . . konvergene Folgen

a n+1 = 2a n b n

a n + b n

, b n +1 = p

a n+1 b n , a 0 = 2 √

3 , b 0 = 3

Spezielle Grenzwerte von Folgen

a n a = lim

n →∞ a n

√

n 1

n ^α q ⁿ , | q | < 1 0 n ^{− α} ln n , α > 0 0

q ⁿ /n! 0

n!/n ⁿ 0

(1 + 1/n) ⁿ e

(1 − 1/n) ⁿ 1/e

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