∀n∈N:An⊂An+1) mit A= limn→∞An∈ R, so gilt ϕ ³ n→∞lim An

Universität Konstanz

Fachbereich Mathematik und Statistik Prof. Dr. Reinhard Racke

Dipl.-Math. Olaf Weinmann

17. Dezember 2007 _¢¢AA¢¢AA ^¢¢AA

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Analysis III 9. Übungsblatt

Denition Es seiXeine beliebige Menge. Eine Mengenfolge(A_n)_n∈N⊂ P(X)heiÿt konvergent gegenA⊂X, falls

lim inf

n→∞ A_n= lim sup

n→∞ A_n=A gilt. Man schreibtA= lim_n→∞A_n.

Aufgabe 9.1 [Freiwillig] Es sei ϕeinσ-additiver Inhalt auf einem RingRüberX. Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

(i) Ist(A_n)_n∈N eine monoton wachsende Folge von Mengen ausR(d.h. ∀n∈N:A_n⊂A_n+1) mit A= lim_n→∞A_n∈ R, so gilt

ϕ

³

n→∞lim A_n

´

= lim

n→∞ϕ(A_n).

(ii) Ist (A_n)_n∈N eine monoton fallende Folge von Mengen aus R (d.h. ∀n ∈N : A_n+1 ⊂A_n) mit A= lim_n→∞A_n∈ R und ϕ(A_n0)<∞ für einn₀∈N, so gilt

ϕ

³

n→∞lim A_n

´

= lim

n→∞ϕ(A_n).

Aufgabe 9.2 [Freiwillig] Es sei X := N und A:= {A ⊂N: Aoder A^c ist endlich}. Ferner sei fürA∈ A:

µ(A) :=

½ 0, falls Aendlich, 1, falls A^c endlich.

Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

(i) Aist eine Algebra über X. (ii) Aist keine σ-Algebra.

(iii) µist ein Inhalt.

(iv) µist nicht σ-additiv.

Aufgabe 9.3 Es sei X6=∅eine beliebige Menge. Für A⊂X sei ζ(A) :=

½ |A|, falls Aendlich,

∞, falls Aunendlich.

Zeigen Sie, dass ζ ein Maÿ auf P(X) deniert und dass ζ genau dann σ-endlich ist, falls X abzählbar ist.

Aufgabe 9.4 Es seiX eine nichtleere Menge,Rein Ring in X undµein Prämaÿ aufR(d.h.

µist ein Inhalt und µist σ-additiv). Weiter sei

R˜ :={A∈ P(X)|∀R∈ R:A∩R ∈ R}

und

˜

µ(A) := sup{µ(R) :R⊂A, R∈ R}

Beweisen Sie die beiden folgenden Aussagen:

(i) Das MengensystemR˜ ist eine Algebra inX mitR ⊂R˜. (ii) Die Abbildung µ˜ ist ein Prämaÿ aufR˜, welchesµfortsetzt.

Aufgabe 9.5 Malen Sie aus: (Abgabe des Bildes: Donnerstag, 20. Dezember, vor 10:00 Uhr in den markierten Briefkasten bei F411.)

Abgabetermin: Montag, 7. Januar 2008, vor 13:00 Uhr in die Briefkästen bei F411.

Wir Wünschen Ihnen eine frohe Weihnacht und viel Erfolg im Neuen Jahr!

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