Hinweis: Sei (Ω, p) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω → R eine Zufallsgröße (oder Zufallsvariable). Dann ist die Varianz von X definiert durch

Stochastik für das Lehramt Prof. Dr. U. Freiberg

Sommersemester 2019 Dr. M. Tautenhahn

Hausaufgabe 7

Abgabe am 17. Juni 2019

Hinweis: Sei (Ω, p) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω → R eine Zufallsgröße (oder Zufallsvariable). Dann ist die Varianz von X definiert durch

Var(X) := E (X − E (X)) = E (X

) − E (X)

. Die Größe σ(X) := p

Var(X) heißt Standardabweichung von X.

Aufgabe 1. Es sei X eine diskrete Zufallsgröße mit Einzelwahrscheinlichkeiten (oder Wahr- scheinlichkeitsfunktion)

p(x) =

( (x + 1)c falls x ∈ {0, 1, 2},

0 sonst.

(a) Bestimmen Sie den Wert der Konstanten c.

(b) Ermitteln Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten: P (X < 2), P (X ≤ 2), P (0 < X < 2) und P (X = 1|X < 2).

(c) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.

(d) Bestimmen Sie den kleinsten Wert x ∈ R , für den P (X ≤ x) > 0.5 gilt.

Aufgabe 2. Ein Schachmeister besucht einen Schachverein und spielt eine Partie Simul- tanschach gegen die fünf anwesenden Clubmitglieder. Dazu werden fünf Schachbretter in einer Reihe aufgebaut. Auf der einen Seite sitzen vor je einem Brett die Vereinsmitglieder, während auf der anderen Seite der Schachmeister reihum auf jedem Brett zieht. Es sei X die Anzahl der Spiele, die der Schachmeister gewinnt. (Ein Schachspiel kann mit Remis beendet werden, so dass keiner gewinnt.)

(a) Geben Sie einen Grundraum Ω und die Zufallsgröße X samt Zustandsraum Z an.

(b) Bestimmen Sie die Anzahl der Elemente von Ω.

(c) Wie viele Elementarereignisse besitzt das Ereigns {X ≥ 4}?

Aufgabe 3. Ein Student habe auf seinen Weg zur Universität fünf voneinander unabhän- gig geregelte Ampelkreuzungen zu passieren. Es bezeichne X die Anzahl der überquerten Kreuzungen bis zum erstmaligen Halt wegen Rot oder dem Erreichen der Universität.

(a) Bestimmen Sie den Wertebereich, die Verteilung, den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung von X, falls alle Ampeln gleich lange Rot-Grün-Phasen besitzen und unabhängig voneinander schalten.

(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Universität erreicht, ohne vor einer Ampel hal-

ten zu müssen?

Aufgabe 4. Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen und zuerst das Ergebnis des roten, dann das des blauen Würfels notiert.

(a) Modellieren Sie dieses Zufallsexperiment mit einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum.

Das heißt, geben sie die Ergebnismenge Ω sowie die zugehörigen Einzelwahrscheinlich- keiten p : Ω → [0, 1] an.

(b) Es sei A das Ereignis, dass ein Pasch fällt, und B das Ereignis, dass der blaue Würfel eine größere Zahl zeigt als der rote. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten von A und B.

(c) Es sei X : Ω → N die Zufallsvariable, die die Augensumme beider Würfel angibt. Geben sie eine Abbildungsvorschrift für X an. Berechnen Sie außerdem die Wahrscheinlichkeit, dass 5 ≤ X ≤ 7 ist.

(d) Geben Sie die Verteilung und den Erwartungswert von X an.

Aufgabe 5. Alfred und Bianca spielen folgendes Spiel: Alfred würfelt mit einem fairen Würfel so lange, bis er zweimal hintereinander eine 1 würfelt. Bianca hingegen würfelt mit einem fairen Würfel so lange, bis sie bei zwei aufeinander folgenden Würfen die Folge 1–2 erreicht. Gewonnen hat, wem dies eher gelingt.

(a) Entscheiden und begründen Sie ganz ohne Rechnung, ob das Spiel fair ist oder nicht.

(b) Berechnen Sie den Erwartungswert der dazu nötigen Würfelwürfe.

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