1. Sei X eine stetige Zufallsgröße, a, b ∈ R . Zeigen Sie:

Höhere Mathematik 3: Stochastik (HM II.2 für MB, II für AP) Prof. Dr. I. Veseli´c

Übungsblatt 6

21.11.2011

http://www.tu-chemnitz.de/mathematik/stochastik/teaching/StochastikMBWS2011/index.de.php

1. Sei X eine stetige Zufallsgröße, a, b ∈ R . Zeigen Sie:

(a) E (aX + b) = a E (X) + b, (b) Var(aX + b) = a

Var(X).

2. Gegeben sei die Funktion

f(x) =



 

 

0 , x < 1, cx , 1 ≤ x ≤ 2, 0 , x > 2.

(a) Bestimmen Sie c ∈ R so, dass f Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgröße X ist.

(b) Ermitteln Sie die Verteilungsfunktion, den Erwartungswert, die Varianz und die Standard- abweichung von X.

3. Die Zeitdauer für die Reparatur einer speziellen Maschine sei eine exponentialverteilte Zu- fallsgröße mit einem Erwartungswert von vier Stunden.

Berechnen sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass (a) die Reparaturzeit zwei Stunden nicht übersteigt,

(b) die Reparaturzeit zwischen zwei und sechs Stunden liegt.

4. Die Montagezeit für Schaltelemente sei eine exponentialverteilte Zufallsgröße X. Bekannt sei, dass im Mittel fünf Schaltelemente je Stunde montiert werden.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass

(a) die Montagezeit für ein Schaltelement einen Wert von 12 Minuten nicht übersteigt, (b) innerhalb einer Stunde höchstens drei Schaltelemente montiert werden können, (c) innerhalb einer Stunde fünf oder sechs Schaltelemente montiert werden können.

5. Bei der Herstellung von Widerständen sei der ohmschen Widerstand eine normalverteilte Zufallsgröße mit dem Erwartungswert µ = 990 Ω und der Standardabweichung σ = 20 Ω.

(a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der tatsächliche Wert eines Widerstan- des zwischen 950 Ω und 1050 Ω liegt.

(b) Durch Verbesserung des Herstellungsverfahrens wird der mittlere Widerstand auf 1000 Ω vergrößert. Wie hoch ist dann der Anteil der Widerstände, deren Wert nicht in dem unter (a) angegebenen Toleranzintervall liegt?

(c) Für den Einbau in Präzisionsgeräte sind Widerstände im Bereich zwischen 990 Ω und

1010 Ω erforderlich. Wie groß darf σ maximal sein, wenn unter Beibehaltung des Erwar-

tungswertes µ = 1000 Ω durchschnittlich 90% der gefertigten Widerstände die Bedingun-

gen für den Einbau erfüllen sollen?