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Zeigen Sie, dass gilt: (a) [A,B]= −[B,A] (b) [A+B,C]=[A,C]+[B,C] (c) [A,BC]=[A,B]C+B[A,C] (d) [aA+bB,C]=a[A,C]+b[B,C]mit den Skalarena,b (e) [A, [B,C]]+[B, [C;A]]+[C, [A,B]]=0 (f) Zeige, dass zwei gleichzeitig diagonalisierbare Operatoren kommutieren

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4. Übungsblatt zur Vorlesung SS 2017

Theoretische Physik II Prof. G. Hiller

Abgabe: bis Donnerstag, den 11. Mai 2017 14:00 Uhr

Aufgabe 1: Kommutatoren (6 Punkte)

Der Kommutator zweier OperatorenAundBist definiert durch[A,B]=ABBA. Zeigen Sie, dass gilt:

(a) [A,B]= −[B,A]

(b) [A+B,C]=[A,C]+[B,C] (c) [A,BC]=[A,B]C+B[A,C]

(d) [aA+bB,C]=a[A,C]+b[B,C]mit den Skalarena,b (e) [A, [B,C]]+[B, [C;A]]+[C, [A,B]]=0

(f) Zeige, dass zwei gleichzeitig diagonalisierbare Operatoren kommutieren. Schluss- folgere, dass zwei nicht kommutierende aber diagonalisierbare Operatoren nicht gleichzeitig diagonalisiert werden können.

(g) Was bedeutet es für eine physikalische Messung, wenn zwei Operatoren kommu- tieren?

Aufgabe 2: Paulimatrizen (7 Punkte)

Die Paulimatrizen sind gegeben durch σx=

µ0 1

1 0

, σy= µ0 −i

i 0

, σz= µ1 0

0 −1

. (1)

(a) Berechnen Sie die Kommutatoren[σx,σy],[σx,σz],[σy,σz].

(b) Betrachten Sie den Operatorσimiti=x,y,zund die Eigenwertgleichungσiψsi = siψsi. Berechnen Sie die Eigenwertesi und die normierten Eigenvektorenψsi.

(c) Bestimmen Sie die Eigenvektoren der Operatorsσz in der Basis der Eigenvektoren des Operatorsσx.

Aufgabe 3: Orthogonale Funktionen (7 Punkte)

Betrachten Sie den Vektorraum

V={f : [0,π]→R|f(x)=c1sin(x)+c2sin(2x)+c3sin(3x)mitc1,c2,c3∈R} (2) Die Funktionen

v1(x)=sin(x), (3)

v2(x)=sin(2x), (4)

v3(x)=sin(3x) (5)

bilden offenbar eine Basis des VektorraumsV.

1

(2)

(a) Zeigen Sie, dassv1,v2undv3bezüglich des Skalarproduktes g(v,w)=

Z π

0

v(x)w(x)d x (6)

orthogonal sind.

(b) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis (ONB) dieses Vektorraums.

(c) Berechnen Sie die orthogonale Projektion der Funktion f(x)=

(x, x<π2

πx, xπ2 (7)

auf den Vektorraum V bezüglichg( , ). Tipp : Zeigen Sie zunächst

sin(ax) sin(bx)=1

2(cos((a−b)x)−cos((a+b)x)). (8)

Webseite zur Vorlesung:

http://people.het.physik.tu-dortmund.de/~ghiller/TH2-SS2017.html

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