Zeigen Sie: (a) Die Funktionen h: (a, b]→R und g: [a, b)→R, gegeben durch h(x

Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann

Ubung zur Analysis 1¨ Blatt 9

Musterl¨osung zu Aufgabe 5

Zusatzaufgabe 5. (Die Ableitung f⁰ einer differenzierbaren Funktion f erf¨ullt die Folgerung des Zwischenwertsatzes, auch wenn f⁰ nicht stetig ist.)

Sei f:R→R differenzierbar und seien a, b∈R mit a < b. Zeigen Sie:

(a) Die Funktionen h: (a, b]→R und g: [a, b)→R, gegeben durch h(x) = f(x)−f(a)

x−a , g(x) = f(b)−f(x) b−x , lassen sich zu stetigen Funktionen auf ganz [a, b] fortsetzen.

L¨osung: Die eindeutigen stetigen Fortsetzungen sind gegeben durch

x→alimh(x) =f⁰(a), lim

x→bh(x) = f(b)−f(a)

b−a = lim

x→ag(x), lim

x→bg(x).

(b) F¨ur jedes γ zwischen f⁰(a) und f⁰(b) existiert ein x ∈ [a, b] mit γ = h(x) oder γ =g(x).

L¨osung: Anwendung des Zwischenwertsatzes auf h bzw. g.

(c) F¨ur jedes γ zwischen f⁰(a) und f⁰(b) existiert ein ξ ∈ [a, b] mit γ = f⁰(ξ).

(Hinweis: Mittelwertsatz.)

L¨osung: W¨ahle x wie in (b). Der Mittelwertsatz f¨urf liefert

• im Fall γ =h(x) liefert ein ξ∈[a, x] mit γ =h(x) =f⁰(ξ);

• im Fall γ =g(x) ein ξ∈[x, b] mit γ =g(x) =f⁰(ξ).

1