Stetige Gleichverteilung auf [a, b]

(1)

2.2.2 Stetige Verteilungen

Stetige Gleichverteilung auf [a, b]

Bezeichnung: X ∼U[a, b].

Dichtefunktion: (a < b)

f(t) = ( 1

b−a :a≤t ≤b 0 : sonst Verteilungsfunktion:

F(t) =







0 :t < a

t−a

b−a :a ≤t≤b 1 :t > b Kenngr¨oßen:

Median(X) =EX = a+b

2 und VarX = (a−b)² 12 Eigenschaften: nichtinformative Verteilung

Anwendung:

• Grundlage f¨ur die Erzeugung von Zufallszahlen

• In allen Teilintervalle von [a, b], mit gleicher L¨ange, liegt die gleichverteilte Zu- fallsvariable mit derselben Wahrscheinlichkeit.

Beispiel: X ∼U[2,4]

(2)

Normalverteilung

Bezeichnung: X ∼N(µ, σ²).

Dichtefunktion: (σ >0)

f(t) = 1 σ√

2πe⁻¹²⁽^t−µ^σ ⁾² Kenngr¨oßen:

Median(X) =EX =µ und VarX =σ² Eigenschaften:

• Die Summe unabh¨angiger normalverteilter Zufallsgr¨oßen ist normalverteilt:

X_i ∼N(µ_i, σ²_i) i= 1, . . . , n=⇒ Xn

i=1

X_i ∼N(µ, σ²) mitµ= Xn

i=1

µ_i, σ² = Xn

i=1

σ_i².

• Die standardisierte Summe unabh¨angiger, identisch verteilter Zufallsgr¨oßenX1, X2, . . . konvergiert in Verteilung gegen die Standardnormalverteilung (Zentraler Grenz- wertsatz).

Anwendungen:

• Die Normalverteilung eine wichtige N¨aherungsverteilung (Zentraler Grenzwert- satz).

• Zuf¨allige Messfehler sind oft (zumindest n¨aherungsweise) normalverteilt.

• Die zufällige Abweichungen vom Sollmaß beim Fertigen von Werkstücken ist oft (zumindest näherungsweise) normalverteilt.

• Viele Verfahren der Statistik basieren auf dieser Verteilung.

Beispiele: X ∼N(µ, σ²)

−6 −4 −2 0 2 4 6

0.00.10.20.30.40.50.60.7

Dichtefunktionen

t

f(t)

µ =0, σ²=1 µ =0, σ²=3 µ = −2, σ²=1 µ = −2, σ²=0.4

−6 −4 −2 0 2 4 6

0.00.20.40.60.81.0

Verteilungsfunktionen

t

F(t)

µ =0, σ²=1 µ =0, σ²=3 µ = −2, σ²=1 µ = −2, σ²=0.4

(3)

Standardnormalverteilung

Ist X normalverteilt mit Erwartungswert µund Varianz σ² (X ∼N(µ, σ²)) dann ist Y = X−µ

σ standardnormalverteilt, d.h. normalverteilt mit Erwartungswert 0 und Varianz 1 (Y ∼N(0,1)).

Verteilungsfunktion: Die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung wird mit Φ bezeichnet und ist vertafelt.

(4)

Logarithmische Normalverteilung

Bezeichnung: X ∼LogN(µ, σ²).

Dichtefunktion: (σ >0) f(t) =

( 1 σt√

2πe⁻¹²⁽^ln^t−µ^σ ⁾² :t >0

0 :t≤0

Kenngr¨oßen:

Median(X) = e^µ, EX =e^µ+^σ²² und VarX =e^2µ+σ²³

e^σ² −1´ Eigenschaften: lnX ∼N(µ, σ²).

Anwendungen:

• bei Zeitstudien und Lebendaueranalysen in ¨okonomoischen, technischen und biologischen Vorg¨angen;

• bei Untersuchungen in der analytischen Chemie, wie Konzentrations- und Reinheitspr¨ufungen;

• für zufällige nichtnegative Materialparameter, z.B. Permeabilitäten;

• als Grenzverteilung für Produkte unabhängiger positiver Zufallsgrößen (unter bestimmten Bedingungen).

Beispiel: X ∼LogN(0, σ²)

0 1 2 3 4 5

0.00.51.01.52.02.53.0

t

f(t)

σ =3 σ =1.5 σ =1 σ =0.5 σ =0.25 σ =0.125

0 1 2 3 4 5

0.00.20.40.60.81.0

t

F(t)

σ =3 σ =1.5 σ =1 σ =0.5 σ =0.25 σ =0.125

(5)

Exponentialverteilung

Bezeichnung: X ∼Exp(λ).

Dichtefunktion: (λ >0)

f(t) =

(λ·e^−λt :t≥0 0 :t <0 Verteilungsfunktion:

F(t) = (

1−e^−λt :t ≥0 0 :t <0 Kenngr¨oßen:

Median(X) = ln 2

λ , EX = 1

λ und VarX = 1

λ² Eigenschaften: Verteilung

”ohne Ged¨achtnis“, d.h

P(X ≥x+t|X ≥x) = P(X ≥t) (Markov–Eigenschaft) Die Summe unabh¨angiger und identisch exponentialverteilter Zufallsgr¨oßen ist Gammaverteilt.

Anwendungen:

• Der Abstand zwischen zwei Ereignissen eines homogenen Poisson-Prozesses mit Intensit¨atλist exponentialverteilt mit Parameterλ. F¨ur diesen homogenen Poisson- Prozess ist die Anzahl der Ereignisse im Intervall [0, t] poissonverteilt mit Para- meter λ · t (Nt ∼ Poi(λ · t)). Weiter sind, gegeben Nt = n, die Punkte des homogenen Poisson-Prozesses gleichverteilt auf [0, t].

• Anwendung findet die Exponentialverteilung als Lebensdauerverteilung (ohne Alterung), in der Zuverl¨assigkeitstheorie und in der Bedienungstheorie.

Beispiele: X ∼Exp(λ)

0 1 2 3 4 5 6

0.00.10.20.30.40.50.6

t

f(t)

λ =0.25 λ =0.5 λ =0.75 λ =2

0 1 2 3 4 5 6

0.00.20.40.60.81.0

t

F(t)

λ =0.25 λ =0.5 λ =0.75 λ =2

(6)

Gammaverteilung

Bezeichnung: X ∼Gam(p, λ).

Parameter: λ >0 : Skalenparameter p > 0 : Formparameter Dichtefunktion:

f(t) = ( λ^p

Γ(p)t^p−1exp (−λt) :t >0

0 :t ≤0

Mit Γ der Gammafunktion:

Γ(p) = Z _∞

0

exp(−t)t^p−1dt p >0 (damit ist Γ(1) = 1 und Γ(n) = (n−1)! f¨ur n∈N).

Momente:

EX = p

λ und VarX = p

λ² Eigenschaften:

• X₁ ∼Gam(p₁, λ),X₂ ∼Gam(p₂, λ), unabh¨angig

=⇒X1+X2 ∼Gam(p1+p2, λ)

• Xi ∼Exp(λ), i= 1, . . . , n,unabh¨angig

=⇒ Xn

i=1

X_i ∼Gam(n, λ) Spezialfall: Erlangverteilung fallsp=n∈N.

Anwendung: Lebensdauerverteilung.

Beispiele: X ∼Gam(p, λ)

0 1 2 3 4 5

0.00.20.40.60.81.0

t

f(t)

p=0.5, λ =1 p=0.5, λ =2 p=1, λ =1 p=1, λ =2 p=2, λ =1 p=2, λ =2

0 1 2 3 4 5

0.00.20.40.60.81.0

t

F(t)

p=0.5, λ =1 p=0.5, λ =2 p=1, λ =1 p=1, λ =2 p=2, λ =1 p=2, λ =2

(7)

Weibull-Verteilung

Bezeichnung: X ∼Wei(α, β, m).

Parameter: α : Verschiebungsparameter (Lageparameter)

β >0 : Skalenparameter und m >0 : Formparameter

Bemerkung: Ist α= 0, so spricht man von der 2-parametrigen Weibullverteilung.

Dichtefunktion:

f(t) =





m β

³t−α β

´_m−1 exp

³

−(^t−α_β )^m

´

:t > α

0 :t≤α

Verteilungsfunktion:

F(t) =

(1−exp

³

−(^t−α_β )^m

´

:t > α

0 :t≤α

Kenngr¨oßen:

Median(X) =α+β·(ln 2)^m¹ und EX =α+β·Γ µ

1 + 1 m

¶

VarX = Ã

Γ µ

1 + 2 m

¶

− µ

Γ µ

1 + 1 m

¶¶₂!

β² mit Γ der Gammafunktion.

Anwendung: In der mechanischen Verfahrenstechnik findet die Weibull-Verteilung Anwendung als eine spezielle Partikelgrößenverteilung. Hier wird sie auch als RRSB- Verteilung (nach Rosin, Rammler, Sperling und Bennet) bezeichnet. Eine Weibullver- teilung kann als Grenzverteilung für das Minimum einer großen Zahl von unabhängigen Zufallsgrößen auftreten (Verteilung des schwächsten Kettengliedes), deshalb sind Lebensdauern von Sytemen oft weibullverteilt.

Beispiele: X ∼Wei(0,1, m)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

0.00.51.01.52.02.5

t

f(t)

m=0.5 m=1 m=1.5 m=5

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.00.20.40.60.81.0

t

F(t)

m=0.5 m=1 m=1.5 m=5

(8)

Fr´echet-Verteilung

Bezeichnung: X ∼Fre(α, β, m).

Parameter: α : Verschiebungsparameter (Lageparameter) β >0 : Skalenparameter

m >0 : Formparameter Dichtefunktion:

f(t) =





m β

³t−α β

´^−(m+1) exp

³

−(^t−α_β )^−m

´

:t > α

0 :t≤α

F(t) = (exp

³

−(^t−α_β )^−m

´

:t > α

0 :t≤α

Kenngr¨oßen: (mit Γ der Gammafunktion) Median(X) = α+β·

µ 1 ln 2

¶¹

m

und EX =

(α+β·Γ¡

1− _m¹¢

:m >1

∞ : sonst

VarX =

(³Γ¡

1−_m²¢

−¡ Γ¡

1−_m¹¢¢₂´

β² :m >2

∞ : sonst

Anwendung: Als eine Extremwertverteilung ist sie eine wichtige Verteilung zur Be- stimmung von Risiken in der Finanzstatistik.

Beispiele: X ∼Fre(0, β, m)

0 1 2 3 4 5

0.00.20.40.60.81.01.2

t

f(t)

β =1, m=1 β =1, m=2 β =1, m=3 β =2, m=1 β =2, m=2 β =2, m=3

0 1 2 3 4 5

0.00.20.40.60.81.0

t

F(t)

β =1, m=1 β =1, m=2 β =1, m=3 β =2, m=1 β =2, m=2 β =2, m=3

(9)

Gumbel-Verteilung

Bezeichnung: X ∼Gum(α, β).

Parameter: α : Verschiebungsparameter (Lageparameter) β >0 : Skalenparameter

Dichtefunktion:

f(t) = 1

βe⁻^t−α^β e^−e⁻

t−α β

F(t) =e^−e⁻

t−α β

Kenngr¨oßen:

EX =α+βγ mit γ ≈0,5772 der Euler-Mascheroni-Konstante.

Median(X) = α−βln(ln(2)) und VarX = β²π² 6 Anwendung: Als eine Extremwertverteilung z.B. in:

- der Wasserwirtschaft (f¨ur extreme Ereignisse wie Hochwasser und Trockenzeiten), - der Verkehrsplanung,

- der Meteorologie, - der Hydrologie.

Beispiele: X ∼Gum(α, β)

−2 −1 0 1 2 3 4

0.00.10.20.30.40.50.6

t

f(t)

α =0, β =0.7 α =0, β =1 α =0, β =2 α =1.5, β =1

−2 −1 0 1 2 3 4

0.00.20.40.60.81.0

t

F(t)

α =0, β =0.7 α =0, β =1 α =0, β =2 α =1.5, β =1