Vorlesung 8
Stetige Funktionen
Es werden verschiedene Stetigkeitsbegriffe für Funktionen f W X ! Leingeführt, wobeiX Keine Teilmenge ist undK,L2 fR;Cgvorgegebene Körper sind.
Stetigkeit. Seif WX !Leine Funktion.
1. Man nennt f inx0 2 X stetig, wenn für jedes" > 0einı > 0 existiert, so daß für allex 2X mitjx x0j ıstetsjf .x/ f .x0/j "gilt.
2. Die Funktionf ist genau dann in einem Häufungspunktx0 2 X von X stetig, wenn limx!x0f .x/Df .x0/gilt.
3. Ist x0 2 X ein isolierter Punkt, also kein Häufungspunkt vonX, dann ist jede Funktionf WX !Lstetig inx0 2X.
4. Man nenntf WX !Lstetig, wennf in jedem Punktx0 2X stetig ist.
Rechtsseitige Stetigkeit. SeiX Reine Teilmenge. Dann nennt man eine Funkti- onf W X ! Linx0 2 X rechtsseitig stetig, wenn für jedes" > 0 einı > 0existiert, so daß für allex 2X mitx0 x x0Cıstetsjf .x/ f .x0/j "gilt.
Linksseitige Stetigkeit. SeiX Reine Teilmenge. Dann nennt man eine Funktion f W X ! Linx0 2 X linksseitig stetig, wenn für jedes" > 0einı > 0existiert, so daß für allex 2X mitx0 ı x x0 stetsjf .x/ f .x0/j "gilt.
Operationen mit stetigen Funktionen. Sind X K eine Teilmenge sowie die Funktionenf,hWX !Lim Punktx02 Xstetig, dann gilt:
1. Die Summef Chund das Produktf hsind inx0 stetig.
2. Im Falleh.x0/¤0ist der Quotient fh inx0stetig.
Stetigkeit rationaler Funktionen. 1. Seienm 2 N [ f0g sowiea0,a1; : : : ; am 2 K vorgegeben. Wegen der Stetigkeit der durch f0.x/ D a0 und f1.x/ D x fürx 2 K definierten Funktionenf0,f1 WK !Kist somit auch die durchf .x/D Pm
kD0akxk fürx 2Kdefinierteganze rationaleFunktionf WK!Kstetig.
2. Seien ferner` 2N undb0,b1; : : : ; b` 2 Ksowie eine MengeX Kvorgegeben, so daß die durchh.x/ D P`
kD0bkxk fürx 2 X definierte ganze rationale Funktion h W X ! K keine Nullstellen in X besitzt. Dann ist auch die gebrochene rationale Funktion fh WX !Kstetig.
Stetigkeit der Verkettung. Seien X Keine Teilmenge sowie f W X ! Leine in x0 2 X stetige Funktion, fernerY Leine Teilmenge, so daßf ŒX Y gilt sowie g W Y ! M eine in f .x0/ 2 f ŒX stetige Funktion mit Werten in einem weiteren KörperM2 fR;Cg. Dann ist die Verkettunggıf WX !Minx0 2X stetig.
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Gleichmäßig konvergente Folgen stetiger Funktionen. IstX Keine Teilmenge und.fn/eine Folge stetiger FunktionenfnW X !L, welche gleichmäßig gegen eine Grenzfunktionf WX !Lkonvergiert, dann istf ebenfalls stetig.
Stetigkeit der Grenzfunktion von Potenzreihen. Sei.sn/eine Potenzreihe um den Mittelpunkt x0 2 K mit den Koeffizienten .ak/ in K und dem Konvergenzradius R > 0, die in X D ˚
x 2 K j jx x0j < R gegen die Grenzfunktion s W X ! K konvergiert. Da die Folge.sn/stetiger Funktionensn WK!Kfür jedesr 20; RŒin
˚x 2Kj jx x0j< r gleichmäßig konvergiert, ist auch die Grenzfunktionsstetig.
Zwischenwertsatz. 1. Seiena, b 2 Rmita < b sowie f W Œa; b ! Reine stetige Funktion mitf .a/ < f .b/(bzw.f .a/ > f .b/) und y0 2 Rmitf .a/ < y0 < f .b/
(bzw.f .a/ > y0 > f .b/) gegeben. Dann existiert einx02 a; bŒmitf .x0/Dy0. 2. Istf WR !Reine stetige Funktion derart, daß sowohl limx!1f .x/ D 1als auch limx! 1f .x/D 1gilt, dann istf surjektiv.
(Einfach) zusammenhängende Mengen. 1. Man bezeichnet eine Menge X K alszusammenhängend, wenn für allex,y 2 X eine stetige Funktion' W Œ0; 1 ! X existiert, so daß'.0/Dx und'.1/Dygilt.
2. Eine zusammenhängende MengeX Kheißteinfach zusammenhängend, wenn für jede stetige Funktion ' W ˚
z 2 K j jzj D 1 ! X eine stetige Fortsetzung W˚
z 2Kj jzj 1 !X von' existiert.
3. Jedes IntervallX Rist einfach zusammenhängend.
4. IstX Rzusammenhängend, so istXein Intervall.
5. Der Kreis ˚
x 2 C j jx x0j r umx0 2 Cmit dem Radiusr > 0ist einfach zusammenhängend.
6. Der Kreisring ˚
x 2 C j jx x0j r umx0 2 C mit dem inneren Radius > 0und dem äußeren Radiusr > ist (nichteinfach) zusammenhängend.
Stetige Bilder zusammenhängender Mengen. Ist die MengeX K(einfach) zu- sammenhängend undf WX !Leine stetige Funktion, dann ist auch die Bildmenge f ŒX L(einfach) zusammenhängend.
(Strenge) Monotonie. SeiX Reine Teilmenge undf WX !Reine Funktion.
1. Die Funktion f heißtmonoton wachsend (bzw.fallend), wenn für allex,y 2 X ausxy stetsf .x/f .y/(bzw.f .x/f .y/) folgt.
2. Man nennt die Funktion f streng monoton wachsend (bzw. fallend), wenn für allex,y 2X ausx < y stetsf .x/ < f .y/(bzw.f .x/ > f .y/) folgt.
3. IstX Rein Intervall undf stetig und injektiv, dann istf streng monoton.
4. IstX Rein Intervall undf streng monoton, dann ist die Inversef 1stetig.
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Stetigkeit der Wurzelfunktionen. Sindm 2 N und das IntervallX D Œ0;1Œvor- gegeben, so ist die durchf .x/ D xm fürx 2 X definierte ganze rationale Funktion f WX !X stetig und wegenf .0/D0und limx!1f .x/D 1auch surjektiv. Da in der binomischen Formel
f .x/ f .y/ Dxm ymD.x y/
m 1
X
kD0
xkym 1 k fürx,y 2X
die Summe im zweiten Faktor nur im Fallex D y D 0, m > 1verschwindet, folgt ausf .x/Df .y/stetsx Dy, woraus sich die Injektivität und somit die strenge Mo- notonie vonf ergibt. Damit ist auch die durchf 1.x/ D mp
x fürx 2 X definierte Inversef 1 WX !X vonf stetig und bijektiv, also ebenfalls streng monoton.
Stetige Bilder abgeschlossener beschränkter Mengen. IstX Keine abgeschlos- sene beschränkte Menge undf WX !Leine stetige Funkion, dann gilt:
1. Die Bildmengef ŒX List ebenfalls beschränkt und abgeschlossen.
2. Im FalleLDRbesitzt die Bildmengef ŒX RMaximum und Minimum.
3. Die Funktion f istgleichmäßig stetig:Es gibt für jedes" > 0einı > 0, so daß für allex,x02 Xmitjx x0j ıstetsjf .x/ f .x0/j "gilt.
