Stetige Funktionen

(1)

Stetige Funktionen

Aufgabe 1. Sei die Funktionf WR!Rdurch f .x/D p³p

1Cx²Cx p³p

1Cx² x fürx2 Rgegeben:

Man zeige, daß die Funktionf WR!Rbijektiv ist, berechne (mit Hilfe binomischer Formeln) ihre inverse Funktionf ¹ WR!Rund begründe, warum die Funktionen f ¹ WR!Rundf WR!Rstetig und streng monoton sind! ³ Lösung. 1. Man sucht eine bijektive Abbildung g W R ! R, welche die Gleichung g.f .x//Dx für allex 2Rerfüllt:

1.1. Wirdx 2Rbeliebig vorgegeben, dann erhält man für Df .x/Da b mit aD p³p

1Cx²Cx und b Dp³p

1Cx² x aufgrund der binomischen Formel die Beziehung

³ D.a b/³ Da³ 3a²bC3ab² b³ Da³ b³ 3.a b/ab:

Wegena bD und abD p³p

1Cx²Cxp³p

1Cx² x Dp³

.1Cx²/ x²D1 folgt daraus

³D p

1Cx²Cx p

1Cx² x

3 D2x 3:

Definiert man die ganze rationale Funktiong WR!Rdurch die Vorschrift g./D ³C3

2 für 2R;

dann gilt somitg.f .x//Dxfür jedesx 2R.

1.2. Da sowohl lim!1g./ D 1 als auch lim! 1g./ D 1 gelten, ist die stetige Funktiong WR!Rnach dem Zwischenwertsatz surjektiv. Besitzen,y 2 R die Eigenschaftg./Dg.y/, dann folgt daraus aufgrund binomischer Formeln

0Dg./ g.y/D .³ y³/C3. y/

2 D .²CyCy²/C3

. y/

2

D . Cy/²C²Cy²C6

. y/

4

und damit D y wegen. Cy/²C²Cy²C6 > 0. Somit istg W R !Rinjektiv, also bijektiv, das heißt, nach Schritt 1.1 die inverse Funktion zuf WR!R.

2. Da g W R ! R stetig und injektiv ist, muß g streng monoton sein. Damit ist auch die inverse Funktionf WR!Rstetig, injektiv und somit streng monoton.

(2)

Aufgabe 2. SeienX DŒ1;1Œund die beiden Funktionenf,g WX !Rdurch f .x/Dp

xCp

x p

x bzw. g.x/D 2p

x p

xC1 p x 1

xp x fürx 2 X definiert. Man zeige, daß die Grenzwerte limx!1f .x/und limx!1g.x/

existieren und berechne diese Werte! ±

Lösung. 1. Für die Berechnung des Grenzwerts limx!1f .x/ erweitert man Zähler und Nenner vonf und erhält

f .x/D

pxCp

x p

x p xCp

xCp x p

x pxCp

xCp

x p

x

D .xCp

x/ .x p x/

pxCp xCp

x p

x D 2

q1C^p¹_x Cq 1 ^p¹_x

für jedesx2 X. Wegen limx!1 1

px D0liefert die Stetigkeit der Wurzelfunktion

xlim!1f .x/D lim

x!1

2 q1C ^p¹_x Cq

1 ^p¹_x D1 als gesuchten Grenzwert.

2. Zur Berechnung des Grenzwerts lim!1g./ werden ebenfalls in geeigneter Weise Zähler und Nenner vongerweitert: Für alle 2X ergibt sich zunächst

g./D p

p

1 p

p

C1 p

p und somit

g./D

p p

1 p Cp

1 p

pCp

1

pC1 p p

C1Cp

p pC1Cp

D p pCp

1

p pC1Cp

D

pC1 p 1

p pCp

1 p

C1Cp sowie durch erneute Erweiterung von Zähler und Nenner

g./D

pC1 p

1 p

C1Cp 1

p pCp

1 p

C1Cp p

C1Cp 1

D 2p

pCp

1 p

C1Cp p

C1Cp

1: Wegen lim!11

D0liefert die Stetigkeit der Wurzelfunktion

lim!1g./ D lim

!1

2

1Cq

1 ¹ 1Cq

1C ¹ q

1C ¹ Cq

1 ¹ D 1 4

als gesuchten Grenzwert.

(3)

Aufgabe 3. Seien gemäß Abbildung ein Kreis um den Nullpunkt mit dem Radius r > 0 sowie ein Sektor gegeben, der von den beiden vom Nullpunkt ausgehenden Schenkeln des Winkels 2

0;₂

und der Kreislinie eingeschlossen wird.

r h

d

b

1. Die zum unteren Schenkel senkrechte Strecke h durch den Schnittpunkt der Kreislinie mit dem oberen Schenkel schneidet vom Kreissektor ein rechtwinkliges Dreieck ab. Man berechne den FlächeninhaltF1. /der hellgrauen Restfläche!

2. Von den beiden Schenkeln des Winkels und der Parallelen b zur Strecke h durch den Schnittpunkt der Kreislinie mit dem unteren Schenkel wird ein rechtwinkliges Dreieck eingeschlossen. Die Kreislinie schneidet von diesem Dreieck den Kreis- sektor ab. Man bestimme den FlächeninhaltF2. /der dunkelgrauen Restfläche!

3. Man weise (mit Hilfe bekannter Grenzwerte für trigonometrische Funktionen) nach, daß sich im Grenzfall #0die Beziehung

lim#0

F1. / F2. / D2

für das Verhältnis beider Flächeninhalte ergibt! ±

(4)

Lösung. 1. Das weiße rechtwinklige Dreieck mit der Grundseited Drcos und der Höheh D rsin besitzt den Flächeninhalt Fı. / D ¹₂dh D ¹₂r²sincos. Da der Kreissektor mit dem Radius r > 0 und dem Öffnungswinkel den Flächeninhalt F0. / D ₂ r² D ₂r² hat, ergibt sich für den Flächeninhalt der hellgrauen Rest- fläche demzufolgeF1. /DF0. / Fı. /D ¹₂r². sincos /.

2. Das große rechtwinklige Dreieck mit den Katheten r und b D ^rh_d D rtan besitzt den Flächeninhalt F. / D ¹₂rb D ¹₂r²tan. Da der Kreissektor mit dem Radiusr > 0und dem Öffnungswinkel den FlächeninhaltF0. /D ₂ r²D ₂r² hat, erhält man F2. / D F. / F0. / D ¹₂r².tan / als Flächeninhalt der dunkelgrauen Restfläche.

3. Für die oben berechneten Flächeninhalte ergibt sich das Verhältnis F1. /

F2. / D sincos

tan D . sincos /cos sin cos D .cos sin /C.1 cos² /sin

sin cos D sin³

sin cos 1 für jedes 2

0;₂

. Da der Kehrwert des ersten Summanden die Darstellung sin cos

sin³ D

sin

³1 cos ²

sin ³

für jedes 2 0;₂

besitzt, liefern die bekannten Grenzwertbeziehungen

lim!0

sin

D1; lim

!0

1 cos ² D 1

2; lim

!0

sin ³ D 1

6 für die trigonometrischen Funktionen demzufolge

lim#0

sin cos

sin³ Dlim

#0

sin 3

1 cos ²

sin ³

D 1

3; woraus sich schließlich

lim#0

F1. / F2. / Dlim

#0

sin³

sin cos 1D3 1D2

als gesuchter Grenzwert ergibt.

(5)

Aufgabe 4. Man zeige (mit Hilfe der Additionstheoreme), daß die Abschätzungen jsinx sinyj jx yj und jcosx cosyj jx yj für allex,y 2Œ ; gelten und schließe daraus, daß Sinus und Cosinus aufŒ ; stetig sind!

Lösung. 1. Man betrachtet einen Kreissektor mit dem Radius r > 0 und dem Öff- nungswinkel 2 0; Œund studiert die Inhalte folgender Flächenstücke:

r

h

Offenbar hat das weiße Dreieck mit der Grundseite r und der Höhe h D rsin den Flächeninhalt F1 D ¹₂rh D ¹₂r²sin. Fügt man das hellgraue Kreissegment mit hinzu, erhält man den Kreissektor mit dem Radiusr und dem Öffnungswinkel 20; Œ, welcher einen FlächeninhaltF2 D ₂ r²D ₂r²besitzt. Da stetsF1< F2

gilt, ergibt sich daraus0 sin für alle 2 Œ0; . Wegen sin. / D sin erhält man demnachjsinj jjfür alle 2Œ ; .

2. Für alle˛,ˇ 2Œ ; gelten die Additionstheoreme sin.˛˙ˇ/ Dsin˛cosˇ˙cos˛sinˇ;

cos.˛˙ˇ/ Dcos˛cosˇsin˛sinˇ:

Setzt man ˛ D ^x^C₂^y 2 Œ ; und ˇ D ^{x y}₂ 2 Œ ; für x, y 2 Œ ; ein, so erhält man die Formeln

sinx siny Dsin.˛Cˇ/ sin.˛ ˇ/ D2cos˛sinˇD2cosxCy

2 sinx y 2 ; cosx cosy Dcos.˛Cˇ/ cos.˛ ˇ/ D 2sin˛sinˇD 2sinxCy

2 sinx y 2 : Daˇ

ˇcos^x^C₂^yˇ

ˇ 1undˇ

ˇsin^x^C₂^yˇ

ˇ 1sowie ^{x y}₂ 2 Œ ; für allex,y 2 Œ ; gilt, ergeben sich daraus wegen Schritt 1 die gewünschten Abschätzungen

jsinx sinyj 2 ˇ ˇ

ˇsinx y 2

ˇ ˇ

ˇ jx yj und jcosx cosyj 2 ˇ ˇ

ˇsinx y 2

ˇ ˇ

ˇ jx yj für allex,y 2Œ ; .

3. Sei" > 0beliebig vorgegeben. Aufgrund von Schritt 2 gilt für allex,y 2Œ ; mitjx yj " sowohljsinx sinyj "als auchjcosx cosyj ", woraus die (gleichmäßige) Stetigkeit von Sinus und Cosinus aufŒ ; folgt.

(6)

Aufgabe 5. Sei eine Folge.fk/von Treppenfunktionenfk WŒ0; 1!Rdurch fk.x/D

8

<

:

0 für0x _k_C¹₁;

1

k für _k_C¹₁ < x _k¹;

für jedesk 2Nund eine Funktionenreihe.sn/durch die entsprechenden Teilsummen sn DPn

kD1fk WŒ0; 1 !Rfür allen2 N definiert. Man zeige, daß die Funktionen- reihe.sn/gleichmäßig gegen eine regulierte Funktions WŒ0; 1!Rkonvergiert!

0 1

1

0 1

1

0 1

1

Lösung. 1. Die Teilsummensn D Pn

kD1fk W Œ0; 1 ! Rsind ebenfalls Treppenfunk- tionen für allen2N, denn es gilt

sn.x/D 8

<

:

0 für0x _n_C¹₁;

1

k für _k_C¹₁ < x ¹_k undk 2 f1; : : : ; ng: Definiert man die Funktions WŒ 1; 1!Rdurch

s.x/D 8

<

:

0 fürx D0;

1

k für _k_C¹₁ < x ¹_k undk 2N; dann erhält man für jedesn2N als Differenz

s.x/ sn.x/D 8 ˆˆ

<

ˆˆ :

0 fürxD0;

1

k für _k_C¹₁ < x ¹_k undk2 N,knC1;

0 für _k_C¹₁ < x ¹_k undk2 f1; : : : ; ng: Daraus ergibt sich

js.x/ sn.x/j 1

nC1 für allen2N undx 2Œ0; 1;

woraus die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenreihe.sn/gegen die Grenzfunk- tions W Œ0; 1 ! Rfolgt, die somit reguliert ist, da die Teilsummen sn W Œ0; 1 ! R für alle n 2 N Treppenfunktionen sind und das Intervall Œ0; 1 abgeschlossen und

beschränkt ist.

(7)

Aufgabe 6. Man zeige, daß die Beziehungen lim!0sin D0, lim!0cos D1und

lim!0

sin

D1; lim

!0

1 cos ² D 1

2; lim

!0

sin ³ D 1

6 für die trigonometrischen Funktionen gelten!

Lösung. 1. Man betrachtet einen Kreissektor mit dem Radius r > 0 und dem Öff- nungswinkel 2

0;₂

und studiert die Inhalte folgender Flächenstücke:

r

b h

Das weiße Dreieck mit der Grundseiter und der HöhehD rsin hat den Flächen- inhaltF1 D ¹₂rhD ¹₂r²sin. Fügt man das hellgraue Kreissegment mit hinzu, erhält man den Kreissektor mit dem Radiusr und dem Öffnungswinkel 2

0;₂

, welcher einen Flächeninhalt F2 D ₂ r² D ₂r² hat. Nimmt man schließlich noch das dunkelgraue Flächenstück hinzu, bekommt man ein rechtwinkliges Dreieck mit den beiden Kathetenr und b D _r_cos^rh D rtan, welches offenbar einen Flächeninhalt F3 D ¹₂rbD ¹₂r²tan besitzt. Da stetsF1 < F2< F3gilt, ergibt sich daraus

sin < <tan D sin

cos und somit cos < sin

< 1 für alle 2 0;₂

:

Wegen sin. /D sin und cos. /Dcos erhält man demnach sin > >tan D sin

cos und ebenso cos < sin

< 1 für alle 2

2; 0 :

2. Daraus folgt0lim!0jsinj lim!0jj D0, also lim!0sin D0. Wegen des Additionstheorems cos D1 2sin²₂ ergibt sich deshalb

lim!0cos D lim

!0 1 2sin²₂ D1:

Außerdem liefert die in Schritt 1 gewonnene Abschätzung auch cos < sin

< 1 für alle 2Rmit0 < jj< ₂; woraus schließlich

1D lim

!0cos lim

!0

sin

1 und somit lim

!0

sin

D1 folgt:

(8)

3. Wegen der Beziehungen

cos2 D1 2sin² und lim

!0

sin D1 ergibt sich

lim!0

1 cos

² D lim

!0

1 cos2

.2 /² D lim

!0

2sin² 4² D 1

2

lim!0

sin

² D 1

2: 4. Sei die Funktionf WRn f0g !Rdurch

f . /D sin

³ für 2Rmit ¤0 definiert. Der Existenznachweis und die Berechnung des Grenzwerts

lim!0f . /D 1 6 erfolgt in mehreren Schritten:

4.1. Die in Schritt 1 für alle 2Rmit0 < j2j< ₂ gewonnene Abschätzung cos2 < sin2

2 < 1 liefert 0 < 2 sin2

2 < 1 cos2 und somit wegen1 cos2 D2sin²untere und obere Schranken

0 < f .2 /D 2 sin2

.2 /³ < 1 cos2 .2 /² D 1

2

sin

²

< 1 2 für jedes 2Rmit0 <j2j< ₂.

4.2. Aufgrund des Additionstheorems sin2 D2sincos gilt außerdem f .2 /D 2 sin2

.2 /³ D sincos

4³ D f . /

4 C sin

4 1 cos ²

für alle 2Rn f0g. Aus den in Schritt 2 und 3 gewonnenen Grenzwertbeziehungen

lim!0

sin

D1 und lim

!0

1 cos ² D 1

2 folgt lim

!0

f .2 / f . / 4

D 1

8: 4.3. Wird" > 0beliebig fixiert, dann existiert somit einı 2

0;₄

, so daß ˇ

ˇ ˇ ˇ ˇ

f . / f ₂ 4

1 8 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

3"

4 für alle 2Rmit0 <jj ıgilt:

Sei 2 Rmit0 < jj ı beliebig vorgegeben und die Folge.k/durchk D ₂k

fürk2N [ f0gdefiniert. Wegen0 <jkj ıergibt sich ˇ

ˇ ˇ ˇ

f .k/ f .kC1/ 4

1 8 ˇ ˇ ˇ ˇ 3"

4 ; also ˇ ˇ ˇ ˇ

f .k/ 4^k

f .kC1/ 4^k^C¹

1 8 1

4^k ˇ ˇ ˇ ˇ 3"

4 1 4^k für allek2 N[ f0g.

(9)

4.4. Aufgrund der geometrischen Summenformel

n

X

kD0

1 4^k D 4

3

1 1

4ⁿ^C¹

fürn2N [ f0g erhält man für allen2N [ f0gdurch Indexverschiebung

f .0/ f .nC1/ 4ⁿ^C¹

1 6

1 1

4ⁿ^C¹

D

n

X

kD0

f .k/ 4^k

nC1

X

kD1

f .k/ 4^k

1 8

n

X

kD0

1 4^k

D

n

X

kD0

f .k/ 4^k

f .kC1/ 4^k^C¹

1 8 1

4^k

:

Mit Schritt 4.3 folgt daraus ˇ

ˇ ˇ ˇ

f .0/ f .nC1/ 4ⁿ^C¹

1 6

1 1

4ⁿ^C¹ ˇ

ˇ ˇ ˇ

n

X

kD0

ˇ ˇ ˇ ˇ

f .k/ 4^k

f .kC1/ 4^k^C¹

1 8 1

4^k ˇ ˇ ˇ ˇ

3"

4

n

X

kD0

1 4^k D

1 1

4ⁿ^C¹

""

für allen2N [ f0gund somit wegen0 D und Schritt 4.1 schließlich ˇ

ˇ ˇ ˇ

f . / 1 6 ˇ ˇ ˇ

ˇD lim

n!1

ˇ ˇ ˇ ˇ

f .0/ f .nC1/ 4ⁿ^C¹

1 6

1 1

4ⁿ^C¹ ˇ

ˇ ˇ ˇ":

Da 2Rmit0 <jj ıin Schritt 4.3 beliebig vorgegeben wurde, ergibt sich daraus

der gesuchte Grenzwert lim!0f . /D ¹₆.

(10)

Aufgabe 7. SeienX DŒ0;1Œund die beiden Funktionenf,g WX !Rdurch f ./ Dp

C1 p

bzw. g./D p

C1 p p

für 2 X definiert. Man zeige, daß die Grenzwerte lim!1f ./ und lim!1g./

existieren und berechne diese Werte!

Lösung. Für die Grenzwertberechnung der erweitert man jeweils Zähler und Nenner um geeignete Faktoren, welche die Anwendung einer binomischen Formel gestatten:

1. Für alle 2Œ0;1Œgilt f ./D

pC1 p p

C1Cp pC1Cp

D 1

pC1Cp und somit

lim

!1f ./D lim

!1

1 pC1Cp

D0 wegen lim!1 p1

D0.

2. Genauso wie zuvor erhält man g./ D

pC1 p p

C1Cp p

pC1Cp

D

p pC1Cp

D 1

q1C ¹ C1

für jedes 2 Œ0;1Œ. Wegen lim!11

D 0 und der Stetigkeit der Wurzelfunktion folgt daraus schließlich

lim!1g./D lim

!1

1 q

1C ¹ C1 D 1

2

als gesuchter Grenzwert.