Aufgabe 1. Sei P die Gleichverteilung auf der Menge Ω der Permutationen von {1, . . . , n}, n ∈ N. F¨ ur eine Permutation ω ∈ Ω bezeichne X(ω) die Anzahl der Fixpunkte. Berechnen Sie den Erwartungswert E (X) und die Varianz

Stochastik Prof. Dr. I. Veseli´ c

Hausaufgabe 11

Abgabe bis 28. Juni 13:00 Uhr

Aufgabe 1. Sei P die Gleichverteilung auf der Menge Ω der Permutationen von {1, . . . , n}, n ∈ N. F¨ ur eine Permutation ω ∈ Ω bezeichne X(ω) die Anzahl der Fixpunkte. Berechnen Sie den Erwartungswert E (X) und die Varianz

Var(X) := E (X

) − E (X)

. Hinweis: Es gilt X(ω) = P

i=1

1

(ω). Nimmt eine Zufallsvariable X nur abz¨ ahlbar viele Werte an, dann ist der Erwartungswert von X uber ¨ E(X) := P

a∈X(Ω)

a · P({X = a}) definiert.

Aufgabe 2. Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X

, X

, . . . unabh¨ angig identisch verteilte Zufallsvariablen, deren Verteilung eine Dichte bez¨ uglich des Lebesgue-Maßes besitzen.

Seien E

= Ω und f¨ ur n ≥ 2

E

:= {X

< X

f¨ ur alle m < n} = “ein Rekord wird zur Zeit n erreicht”.

Zeigen Sie, daß die Ereignisse E

, E

, . . . unabh¨ angig sind und P (E

) = 1/n gilt.

Aufgabe 3. Es seien X und Y unabh¨ angige Zufallvariablen und Z = X + Y . Bestimmen Sie die Verteilung von Z falls

(a) X und Y mit den Parametern λ und µ Poisson-verteilt sind.

(b) X und Y mit den Parametern (µ

, σ

) und (µ

, σ

) normalverteilt sind.

(c) X und Y mit den Parametern (n

, p) und (n

, p) binomialverteilt sind.

Aufgabe 4. Es sei (X

)

eine Folge unabh¨ angiger, reellwertiger Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (R, B(R), P). Jedes X

besitze eine Dichte f

. Ferner sei N : R → N eine Zufallsvariable, die von (X

)

unabh¨ angig ist. Zeigen Sie:

(a) Die zuf¨ allige Summe

S(ω) :=

N(ω)

X

n=1

X

(ω) ist eine Zufallsvariable.

(b) Die Funktion P

n=1

P ({N = n}) · (f

∗ . . . ∗ f

) ist eine Dichte von S.

Hinweise: Sei X eine Zufallsvariable auf (R, B(R), P). Eine Funktion f

: R → [0, ∞) heißt Wahrscheinlichkeitsdichte von X (bez¨ uglich des Lebesgue-Maßes), falls f¨ ur alle A ∈ B( R ) gilt

P({X ∈ A}) = Z

A

f

(t)dt.

Es k¨ onnte hilfreich sein, f¨ ur k ∈ N die Zufallsvariable S

(ω) = P

n=1

X

(ω) zu definieren.