y)} für alle n∈ω d=−n(x, y) :=d=n(y, x) für allen∈ω d=∞(x, y) :={∃≥nz(x≤z &lt

Lehr- und Forschungsgebiet

Mathematische Grundlagen der Informatik RWTH Aachen

Prof. Dr. E. Grädel, F. Reinhardt

WS 2014/15

Musterlösung 11.Übung Mathematische Logik II

Lösung zu Aufgabe 2 (e)

SeiA:= (Q×Z, <^A). Wir behaupten, dassAω-saturiert ist. Aus Aufgabe 1 folgt die Existenz einerω-saturierten elementaren ErweiterungB= (B, <^B) von A.

Wir definieren zunächst die folgenden Distanzformelmengen d=n(x, y) :={∃⁼ⁿz(x≤z < y)} für alle n∈ω

d=−n(x, y) :=d=n(y, x) für allen∈ω d=∞(x, y) :={∃^≥nz(x≤z < y)|n∈ω}

d=−∞(x, y) :=d∞(y, x)

Setze Z∞ := Z∪ {∞,−∞} Ist C = (C, <^C) eine lineare Ordnung, so gibt es offenbar für alle a, b∈C genau ein z ∈Z∞ mit C|=d_=z(a, b). Bezeichned_C(a, b) :=z dieses eindeutigez. Man macht sich leich klar, dassdC(a, c) =dC(a, b)+dC(b, c) für allea, b, c∈Cmit (dC(a, b), dC(b, c))∈/ {(∞,−∞),(−∞,∞)} gilt, wenn man ∞+∞ = z+∞ = ∞+z = ∞ und −∞+ (−∞) = z+ (−∞) =−∞+z=−∞ für alle z∈Zsetzt.

Behauptung:

Es gilt (B, b₁, . . . , b_n)≡_∞(A, a₁, . . . , a_n) genau dann, wennd_A(a_i, a_j) =d_B(b_i, b_j)

für alle 1≤i, j≤n. (1)

Beweis:

“⇒”: Sei d_A(a_i, a_j) = z, dann gilt A |= d_=z(a_i, a_j) und somit wegen (A, a) ≡ (B, b) auch B|=d_=z(b_i, b_j), alsod_B(b_i, b_j) =z=d_A(a_i, a_j).

“⇐”: Wir zeigen, dass die Duplikatorin eine Gewinnstrategie im Ehrenfeucht-Fraisse-Spiel G∞((A, a₁, . . . , a_n),(B, b₁, . . . , b_n)) hat. Dazu reicht es zu zeigen, dass die Duplikatorin immer so ziehen kann, dass an jeder Position (a, b) die Invariante

dA(ai, aj) =dB(bi, bj) , für alle 1≤i, j≤ |a| (Inv) erhalten bleibt. Sei also (a, b) eine Position an der die Invariante gilt und sei c ∈ A der nächste Zug des Herausforderers.

1. Fall: Angenommen es gibt eini mitdA(ai, c) =z ∈ Z. Dann gilt also A|=d=z(ai, c).

Da zudem A|=∀x∃yd_=z(x, y) und A≡B folgt B |=∀x∃yd_=z(x, y) und somit gibt es auch ein d ∈B mitd_B(b_i, d) = z. Da zudem d_A(a_j, c) = d_A(a_j, a_i) +d_A(a_i, c) = dB(bj, bi) +dB(bi, d) = dB(bj, d) für alle j gilt, bleibt die Invariante also an der Position (ac, bd) erhalten.

http://logic.rwth-aachen.de/Teaching/MaLo2-WS14

2. Fall: Angenommen für alle i giltd_A(a_i, c) ∈ {∞,−∞}. SeiU := {i|d_A(a_i, c) = −∞}

undL:={i|d_A(a_i, c) =∞}. Wir zeigen, dassp:=^S_u∈Ud=−∞(b_u, x)∪^S_l∈Ld=∞(b_l, x) ein 1-Typ vonBüberbist: Seip0⊆peine endliche Teilmenge. Dann gibt es einn∈ω, so dass Th(B_b) |=ϕ→ ^Vp₀, mit ϕ:=ϕ(x,(b_u)_u∈U,(b_l)_l∈L) :=^V_u∈U∃^≥nz(x ≤z <

b_u)∧^V_l∈L∃^≥nz(b_l≤z < x). Offenbar gilt

A|= (∀y_u)u∈U(∀y_l)l∈L(^V_(l,u)∈L×U∃^≥2n+1z(y_l ≤z < y_u) → ∃xϕ(x,(y_u)u∈U,(y_l)l∈L)) und somit wegen A ≡ B und B |= ^V_(l,u)∈L×U∃^≥2n+1z(b_l ≤ z < bu) auch B |=

∃xϕ(x,(b_u)_u∈U,(b_l)_l∈L). Also istp₀∪Th(B_b) konsistent und nach Kompaktheitssatz psomit ein 1-Typ inB. Da Bω-saturiert ist, wirdp inB von einem Elementd∈B realisiert für das somitd_B(bj, d) =d_A(aj, d) für allej gilt, womit also an der Position (ac, bd) die Invariante erhalten bleibt.

Wenn der Herausforderer ein Element c∈B wählt geht man analog vor, wobei man nur im 2. Fall beachten muss, dass der 1-Typ pauch in Arealisiert wird.

Sei nun p ein 1-Typ von A über einem endlichen Tupel a. Aus A B folgt zunächst (A, a)≡(B, a), womit p auch ein 1-Typ vonB über aist, sowie mit der vorhergehenden Behauptung (A, a)≡_∞(B, a). DaBω-saturiert ist, gibt es einc∈B, daspinBrealisiert und somit auch eind∈A mit (B, ac)≡_∞(A, ad) und somit realisiertd den Typp in A.

Also ist Aω-saturiert.

Lösung zu Aufgabe 4 (a) ϕ1(x) = ∀y∃z(Exy ∨Eyz) ist nicht bisimulations-invariant, kann also nicht äquivalent zu einer ML-Formel sein: K₁ = ({0,1},{(0,1)}) und K₂ = ({0,1,2},{(0,1)}) sind bisimilar via Z = {(0,0),(1,1)}, aber es gilt K₁ |= ϕ₁(0) und K₂ |=¬ϕ₁(0).

(b) ϕ₂(x) =∀y∃z(¬Exy∨Eyz)≡ ∀y(¬Exy∨ ∃zEyz)≡ ∀y(Exy → ∃zEyz)≡♦1 (c) ϕ₃(x) =∃y∀z(Eyx∧Eyz∧P z) ist nicht bisimulations-invariant:

K₁ = ({0,1},{(0,0),(0,1)},{0,1}) |= ϕ₃(1), K₂ = ({1},∅,{1}) |= ¬ϕ₃(1) , aber K₁,1 ∼ K₂,1 viaZ ={(1,1)}.

Lösung zu Aufgabe 5

K⁰,1 K⁰,2 K⁰,3 K⁰,4 K⁰,5 K,1 hai1 hbihai1 ∼ hbihai1 hai1 K,2 hai1 ∼ hbi[a]0 ∼ hai1 K,3 ∼ [a]0 [a]0 [a]0 ∼ K,4 hai1 ∼ hbi[a]0 ∼ hai1 K,5 hai1 hbihai1 ∼ hbihai1 hai1

(a) Z = {(1,3),(2,2),(2,4),(3,1),(3,5),(4,2),(4,4),(5,3)} ist maximale Bisimulation zwi- schenK und K⁰. Es gilt alsoK, v∼ K⁰, w⇔(v, w)∈Z.

(b) Siehe Tabelle.

(c) ϕ(x) =∃yE_ayx.

http://logic.rwth-aachen.de/Teaching/MaLo2-WS14