Numerik Partieller Differentialgleichungen, Sommersemester 2011/2012 Aufgabenblatt 6
Prof. Peter Bastian Abgabe 6. June 2012
IWR, Universit¨at Heidelberg
U¨BUNG1 LIPSCHITZ- UNDKEGELGEBIETE IN2D
1. Entscheiden Sie, ob folgende GebieteΩdie Lipschitz- und Kegel Bedingungen erf ¨ullen:
(a)
Ω =
(x, y)∈R2|0< x <1,|y|< xr, r >1 (b)
Ω1 =
(r, θ)∈R2|0< r <1,0< θ < 3 2π
Ω2 =
(x, y)∈R2| −0.5< x <0.5, y≥ |x|, y≤0.5 Ω = Ω1\Ω2
2. Finden Sie ein Gebiet in 2D, das Kegel aber nicht Lipschitz ist.
3 Punkte U¨BUNG2 GEMISCHTERANDBEDINGUNG
Zeigen Sie, dass eine L ¨osunguder Poisson Gleichung mit gemischten Robin Randbedingungen u+∂nu= 0auf dem Rand∂Ωdas folgende schwach formulierte Problem erf ¨ullt:
Z
Ω
∇u· ∇v+ Z
∂Ω
uv= Z
Ω
f v ∀v∈ H1(Ω).
Zeigen Sie schließlich f ¨urf ∈ H1(Ω)auch die Eindeutigkeit vonu. 5 Punkte U¨BUNG3 FEHLERABSCHATZUNG¨
Es seia : H1(Ω)× H1(Ω) → Rdie Bilinearform a(u, v) := (∇u,∇v) undl : H1(Ω)ein lineares Funktional. Des weiteren seiVh ⊂ H10(Ω)ein endlichdimensionaler Teilraum undu∈ H10(Ω),uh ∈Vh erf ¨ullen jeweils
a(u, v) =l(v), ∀v∈ H10(Ω) sowie
a(uh, vh) =l(vh), ∀vh ∈Vh. Zeigen Sie, dass gilt
k∇u− ∇uhk20 =k∇uk20− k∇uhk20.
3 Punkte
U¨BUNG4 INTERPOLATION
In dieser Aufgabe sollen Sie die Eigenschaften und Konvergenz bei Interpolation mit derPkBasis untersuchen. Das Programm im Unterverzeichnisuebungen/uebung06im aktuellendune-npdeModul implementiert eined-dimensionalePkInterpolation der Funktion
f(x) =
d
X
i=0
1 xi+ 0.5
f ¨ur den ein- und zwei-dimensionalen Fall. Dabei wird in 1D im Intervall[0,1]interpoliert und in 2D im “Einheitsdreieck”, welches auch in der letzten ¨Ubung als Gebiet benutzt wurde. Das Programm erzeugt VTK Dateien, zur Visualisierung der Referenzfunktion f, der Interpolierenden sowie der einzelnen Basisfunktionen.
1. Lesen Sie sich das Programm durch. Was passiert in der Funktioninterpolate function()?
2. Die Funktion uniform integration() wurde gegen ¨uber der letzten Aufgabe modifiziert.
Benennen Sie die ¨Anderungen und begr ¨unden Sie ihre Notwendigkeit.
3. F ¨ur die Verwendung mit der Funktion uniform integration() muss die mit der dune- pdelab API erstellte Interpolations-Funktion (bzw. das Funktionsobjekt) interpolated mit der infunctors.hh definierten Klasse GridLevelFunctionverschachtelt werden. Warum ist das notwendig? Was w ¨urde sonst berechnet werden?
4. F ¨uhren Sie das Programm mit den in der Datei uebung06.inivoreingestellten Parametern aus.
Das Programm berechnet denL2 Fehler der Interpolation. Entspricht die asymptotische Kon- vergenz Ihren Erwartungen? Sch¨atzen Sie anhand der Ausgabe auf wie viele Stellen genau der L2 Fehler auf Level 4 mitk = 4berechnet wurde.Erweitern Sie das Programm in 2D, dass es auch f ¨ur Einheitsquadratgebiet funktioniert. Als Basisfunktionem auf dem Viereck verwenden SieDune::PDELab::Q1LocalFiniteElementMapundDune::PDELab::Q22DLocalFiniteElementMap. Ver- gleichen Sie denL2 Fehler f ¨urP1,P2,Q1 undQ1 Elemente gegen die Anzahl Freiheitsgrade.
Haben Sie einen Unterschied beobachtet?
5. Implementieren Sie eine alternative Referenzfunktion
g(x) =
(1 kxk<0.25
0 sonst .
Tragen Sie f ¨ur f und g f ¨ur die Polynomgrade 1 ≤ k ≤ 4 den L2 Fehler gegen die Anzahl Freiheitsgrade in einem Diagramm auf. Erkl¨aren Sie den Unterschied.
10 Punkte
