Satz 1 (Satz von Vitali, 1905). Sei Ω = {0, 1} N der Ergebnisraum des unendlich oft wiederholten M¨ unzwurfes und P (Ω) die Potenzmenge ¨ uber Ω. Dann gibt es keine Abbildung P : P (Ω) → [0, 1] mit den Eigenschaften

Technische Universit¨ at Chemnitz Stochastik Fakult¨ at f¨ ur Mathematik

Prof. Dr. I. Veseli´ c, F. Schwarzenberger, M. Tautenhahn

Ubungsblatt 2 ¨

Satz 1 (Satz von Vitali, 1905). Sei Ω = {0, 1} ^N der Ergebnisraum des unendlich oft wiederholten M¨ unzwurfes und P (Ω) die Potenzmenge ¨ uber Ω. Dann gibt es keine Abbildung P : P (Ω) → [0, 1] mit den Eigenschaften

(N) Normierung: P (Ω) = 1.

(A) σ-Additivit¨ at: Sind A ₁ , A ₂ , . . . ⊂ Ω paarweise disjunkt, so gilt P (∪ _{i∈ N} A _i ) = X

i∈ N

P (A _i ).

(I) Invarianz: F¨ ur alle A ⊂ Ω und n ≥ 1 gilt P (T _n A) = P (A). Dabei ist T _n : Ω → Ω, ω = (ω ₁ , ω ₂ , . . .) 7→ (ω ₁ , . . . , ω n−1 , 1 − ω _n , ω _n+1 , . . .)

die Abbildung von Ω auf sich, welche das Ergebnis des n-ten Wurfes umdreht, und T _n A = {T _n (ω) : ω ∈ A} das Bild von A unter T _n . (Dies dr¨ uckt die Fairness der M¨ unze und die Unabh¨ angigkeit der W¨ urfe aus.)

Aufgabe 1. Beweisen Sie Satz 1.

Aufgabe 2 (Formel von Poincar´ e-Sylvester). Zeigen Sie: F¨ ur Ereignisse A ₁ , A ₂ , . . . , A _n in einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) gilt

P

n

[

i=1

A _i

!

=

n

X

k=1

(−1) ^k+1 X

1≤i

<···<i

≤n

P (A _i

∩ A _i

∩ · · · ∩ A _i

)

! .

Aufgabe 3. Martin und Fabian vereinbaren ein faires Spiel ¨ uber 7 Runden. Jeder zahlt 5 Euro als Einsatz, und der Gewinner erh¨ alt die gesamten 10 Euro. Beim Stand von 2 : 3 f¨ ur Fabian muss das Spiel abgebrochen werden. Martin schl¨ agt vor, den Gewinn in diesem Verh¨ altnis zu teilen. Soll Fabian sich darauf einlassen? Stellen Sie dazu ein geeignetes Modell auf und berechnen Sie die Gewinnwahrscheinlichkeit von Fabian!

Aufgabe 4 (Geburtstagsparadoxon). Sei p _n die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Klasse von n Kindern wenigstens zwei am gleichen Tag Geburtstag haben. Vereinfachend sei dabei angenommen, dass kein Kind am 29. Februar geboren ist und alle anderen Geburtstage gleich wahrscheinlich sind. Zeigen Sie (unter Verwendung der Ungleichung 1 − x ≤ e ^−x )

p _n ≥ 1 − e −n(n−1)/730

,

und bestimmen ein m¨ oglichst kleines n mit p n ≥ 1/2.