Technische Universit¨ at Chemnitz Stochastik Fakult¨ at f¨ ur Mathematik
Prof. Dr. I. Veseli´ c, F. Schwarzenberger, M. Tautenhahn
Hausaufgabe 4
Abgabe bis 12./13. Mai 07:30
Satz 1. Seien Ω
1, . . . , Ω
nabz¨ ahlbar, nicht leer und ρ
1: Ω
1→ [0, 1] Gewichtsfunktionen auf Ω
1. F¨ ur jedes k ∈ {2, . . . , n} und jedes (ω
1, . . . , ω
k−1) ∈ Ω
1× . . . × Ω
k−1sei ρ
k|ω1,...,ωk−1Gewichtsfunktion auf Ω
k. Seien weiterhin Ω = Ω
1× · · · × Ω
nder Produktraum und f¨ ur jedes i ∈ {1, . . . , n} sei X
i: Ω → Ω
idie i-te Projektion. Dann existiert genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß P auf (Ω, P (Ω)) mit
(i) f¨ ur alle ω
1∈ Ω
1gilt
P (X
1= ω
1) = ρ(ω
1), (ii) f¨ ur alle k ∈ {2, . . . , n} und ω
i∈ Ω
if¨ ur i ∈ {1, . . . , n} gilt
P (X
k= ω
k| X
1= ω
1, . . . , X
k−1= ω
k−1) = ρ
k|ω1,...,ωk−1(ω
k) sofern P (X
1= ω
1, . . . , X
k−1= ω
k−1) > 0.
Dieses Maß P ist definiert durch
P ({ω}) = ρ
1(ω
1)ρ
2|ω1(ω
2) . . . ρ
n|ω1,...,ωn−1(ω
n) f¨ ur alle ω = (ω
1, . . . , ω
n) ∈ Ω. (1) Aufgabe 1. Beweisen Sie Satz 1 indem Sie zeigen:
(a) erf¨ ullt ein Maß (i) und (ii), so gilt f¨ ur dieses Maß auch (1), (b) das durch (1) definierte Maß erf¨ ullt (i) und (ii).
Hinweis: Benutzen Sie die Multiplikationsformel.
Aufgabe 2. Eine M¨ unze mit Wahrscheinlichkeit p < 1/2 f¨ ur “Zahl” wird wiederholt geworfen. Sei A
k, k ∈ N das Ereignis, dass bei den W¨ urfen 2
k, 2
k+ 1, . . . , 2
k+1− 1 mindestens k mal in Folge “Zahl” f¨ allt. Zeigen Sie, dass
P [A
ktritt f¨ ur unendlich viele k ein] = 0.
Hinweis: Definieren Sie das Ereignis B
k(j)= {X
j= 1, X
j+1= 1, . . . , X
j+k−1= 1}, j, k ∈ N ,
wobei X
j= 1 bedeutet, dass der j-te Wurf “Zahl” ist. Benutzen Sie einen Satz von
Borel-Cantelli.
Aufgabe 3. F¨ ur i ∈ N sei Ω
iabz¨ ahlbar und Ω = Q
i∈N
Ω
i. Sei X
i: Ω → Ω
i, X
i(ω) = ω
idie Projektion auf die i-te Koordinate. Sei
G = n
Z(a
1, . . . , a
n) | n ≥ 1, a
i∈ Ω
io
∪ {∅}, und Z(a
1, . . . , a
n) = {ω ∈ Ω | X
1(ω) = a
1, . . . , X
n(ω) = a
n}.
Zeigen Sie, dass G ist durchschnittsstabil ist und die Produkt-σ-Algebra N
i∈N
