Aufgabe I.2 Seien Ω⊂Rd offen, beschr¨ankt und λ≥0 und 1≤p &lt

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Moritz Kaßmann

Fakult¨at f¨ur Mathematik

Sommersemester 2012 Universität Bielefeld

Aufgaben und Projekte zur Vorlesung Partielle Differentialgleichungen II

Dienstag, 24.04.12

Aufgabe I.1

Machen Sie sich noch einmal klar bzw. lesen Sie nach, dass f¨ur eine Funktionf ∈L¹_loc(R^d) und fast jedes x∈R^d gilt:

B(x,r)

f(y) d(y) → f(x).

In der Vorlesung haben wir die nach Campanato benannten Funktionenr¨aume L^p,λ(Ω) kennengelernt. In der folgenden Aufgabe geht es nun darum, den kleinen Bruder, den RaumL^p,λ(Ω), zu untersuchen.

Aufgabe I.2

Seien Ω⊂R^d offen, beschränkt und λ≥0 und 1≤p <∞. Sei L^p,λ(Ω) der Raum aller Funktionenu∈L^p(Ω), für welche die Größe

sup

x0∈Ω,ρ>0

ρ^−λ ˆ

Ω∩B(x0,ρ)

|u(x)|^pd(x)

endlich ist. Untersuchen Sie diesen Raum, d.h. unter anderem. . . a) .. zeigen Sie, dass L^p,λ(Ω) ein Banachraum ist.

b) .. ¨uberlegen Sie, was f¨urλ≥dpassiert.

c) .. in welcher BeziehungL^p,λ(Ω) und L^p,λ(Ω) zueinander stehen.

d) .. in welcher Beziehung L^p,λ(Ω) und L^q,µ(Ω) f¨urp6=q, µ6=λzueinander stehen.