Ubungen zur Vorlesung ¨ Partielle Differentialgleichungen II

Rheinisch-Westf¨alische Technische Hochschule Aachen Institut f¨ur Mathematik

Prof. Dr. Heiko von der Mosel Dipl. Math. Simon Blatt

Ubungen zur Vorlesung ¨ Partielle Differentialgleichungen II

Serie 16 vom 20.4.2006

Aufgabe 61

SeiΩ⊂Rⁿoffen und(u_m)⊂W^1,2(Ω)eine beschr¨ankte Folge schwacher L¨osungen der Differentialgleichungen

Lmum:=∂i(a^(m)_{i j} ∂jum) +b^(m)_i ∂ium+c^(m)um=fm in Ω, wobei a^(m)_{i j} ,b^(m)_i ∈L^∞(Ω), c^m∈L^∞(Ω)∩L²(Ω), fm∈L²(Ω)mit

ka^(m)_{i j} k_L∞(Ω),kb^(m)_i k_L∞(Ω),≤C (unabh. von m).

Weiterhin gelte f¨ur m→∞

a^(m)_{i j} →a_{i j}, b^(m)_i →b_i Lⁿ−f.¨u. inΩ c_m*c in L²(Ω), f_m→ f in L²(Ω), wobei c∈L²(Ω)∩L^∞(Ω).

Beweisen Sie: Eine Teilfolge der u_mkonvergiert schwach in W^1,2(Ω)gegen eine schwache L¨osung u∈W^1,2(Ω)von

Lu :=∂i(a_{i j}∂ju) +b_i∂iu+cu=f in Ω.

Hinweis: Benutzen Sie den Satz von Rellich, Satz 3.31 der Vorlesung.

Aufgabe 62

SeiΩ⊂Rⁿoffen und u∈C⁰(Ω).Dann definiert

Γ⁺_u :={x∈Ω: u(y)≤u(x) +ξ·(y−x)f¨ur alle y∈Ω f¨ur (mind.) einξ=ξ(x)∈Rⁿ} die obere Kontaktmenge von u.

Zeigen Sie:

(i) Γ⁺_u ist relativ abgeschlossen inΩ.

(ii) u ist konkav aufΩgenau dann, wennΓ⁺_u =Ω.

(iii) F¨ur u∈C¹(Ω)und x∈Γ⁺_u giltξ(x) =Du(x).

(iv) F¨ur u∈C²(Ω)gilt D²u≤0 aufΓ⁺_u.

1

Aufgabe 63

Betrachte zu u∈C⁰(Ω),Ω⊂Rⁿoffen, die mengenwertige Abbildungχu:Ω→P(Rⁿ), die sogenannte Normalabbildung von u, definiert durch

χu(x):={ξ∈Rⁿ: u(y)≤u(x) +ξ·(y−x)f¨ur alle y∈Ω}.

Zeigen Sie:

(i) χu(x)6=/0 ⇔x∈Γ⁺_u.

(ii) F¨ur u∈C¹(Ω)giltχu(x) ={Du(x)}aufΓ⁺_u. (iii) Berechnen Sieχuf¨ur die nichtglatte Funktion

u(x):=a

1−|x−z|

R

, x∈Ω:=B_R(z), wobei R>0,a∈R,z∈Rⁿgegeben sind.

Aufgabe 64

Beweisen Sie, dass der Eindeutigkeitssatz, Satz 6.4 der Vorlesung, i.A. falsch ist, falls man starke L¨osungen in W_loc^2,p(Ω)f¨ur p<n zul¨asst. Betrachten Sie dazu das folgende Dirichlet- problem

(∆u+h

n−1 1−λ −1i_x

ix_j

|x|²∂i ju=0 in B₁(0)

u=0 auf ∂B₁(0),

wobei 0<λ<1,n≥2, und zeigen Sie, dass dieses Problem mehrere starke L¨osungen in W^2,p(Ω)f¨ur p<n/(2−λ)besitzt.

Hinweis: W¨ahlen Sie einen radialsymmetrischen Ansatz u(x):=v(|x|).

2