Rheinisch-Westf¨alische Technische Hochschule Aachen Institut f¨ur Mathematik
Prof. Dr. Heiko von der Mosel Dipl. Math. Patrick Overath
Ubungen zur Vorlesung ¨
Geometrische Analysis I – Differentialgeometrie f¨ur Kurven und Fl¨achen Teil II
Serie 4 vom 9.6.2011 Abgabedatum: 29.6.2011
Aufgabe 1
[Distanzfunktionen] F¨ur eine Menge E ⊂ RN sei dist(x, E) :=infy∈E|x−y|dieDistanzfunktion zuEund die Funktion
distσ(x, E) := dist(x, E)−dist(x,RN \E)
diesignierte Distanzfunktion zuE.Zeigen Sie die folgenden Eigenschaften:
(i) distσ(x, E) = −dist(x, ∂E) f¨ur alle x ∈ E, und andererseits distσ(x, E) = dist(x, ∂E)f¨ur alle x ∈ RN \E. Zus¨atzlich gilt f¨ur alle x ∈ RN die Identit¨at distσ(x, E) =−distσ(x,RN\E).
(ii) F¨urE⊂Fgiltdistσ(x, E)≥distσ(x, F).
(iii) Die Funktionenx7→dist(x, E)undx7→distσ(x, E)sind Lipschitzstetig mit Lip- schitzkonstante1.
Aufgabe 2
[Verbindungskurven in Lipschitzgebieten] Sei Ω ⊂⊂ Rn zusam- menh¨angend mit ∂Ω ∈ C0,1. Dann existiert eine Konstante C = C(Ω) ≥ 1, so dass f¨ur alle Punktew,w¯ ∈ Ω¯ eine Kurvec ∈C1([0,1],Rn)mitc([0,1]) ⊂Ω¯ mitc(0) =w undc(1) = ¯wexistiert, so dass deren L¨ange gegen die euklidische Distanz abgesch¨atzt ist:L[0,1](c) = Z 1
0
|c0(τ)|dτ ≤C(Ω)|w−w|.¯
1
Aufgabe 3
[Abschneidefunktionen](i) Konstruieren Sie eine Abschneidefunktionϕ ∈ C0∞(Bδ(w0))mit den Eigenschaf- ten, dassϕ ≡ 1 auf dem offenen BallBδ/2(w0) ⊂ Rn,0 ≤ ϕ ≤ 1 aufRn und
|∇ϕ| ≤4/δ.
(ii) Seien0< ε0< ε1<∞gegeben. Konstruieren Sie eine Funktionη ∈C∞([0,∞)) mit den Eigenschaftenη(r) = rf¨ur aller ∈ [0, ε0],η((ε0,∞)) = (ε0, ε1)und 0< η0≤1auf[0,∞).
Hinweis: Benutzen Sie f¨ur Teil (i) die Funktion
f(x) :=
(exp
−1−|x|1 2
f¨ur |x|<1,
0 sonst
als Konstruktionselement.
F¨ur Teil (ii) versuche man den Ansatzη(r) :=Rr
0(1−µ(k(t−ε0)))2dtf¨ur eine hinreichend große Konstantek∈R,wobeiµ(s) :=e−1/sf¨urs >0undµ(s) = 0f¨ur alles≤0.
Aufgabe 4
[Katenoid und Wendelfl¨ache]Zeigen Sie, dass der KatenoidXK und die Wendelfl¨acheXW gegeben durch
XK(t, s) :=
coshtcoss coshtsins
t
und XW(t, s) :=
sinhtcoss sinhtsins
s
f¨ur (s, t)∈R×R Minimalfl¨achen sind. Sind beides Rotationsfl¨achen?
2
