LEHRSTUHL II F ¨ UR MATHEMATIK DER RHEINISCH – WESTF ¨ ALISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE AACHEN

LEHRSTUHL II F ¨ UR MATHEMATIK DER RHEINISCH – WESTF ¨ ALISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE AACHEN

Prof. Dr. Eberhard Triesch

Aachen, den 17.01.2005

Klausur zur Vorlesung H¨ ohere Mathematik II Fr¨ uhjahr 2005

Aufgabe 1: (4 Punkte)

a) Untersuchen Sie die Folgen ( a

)

auf Konvergenz. Bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert. Dabei ist

( i ) a

= √

9 n

+ 2 n + 1 − 3 n ( ii ) a

= P

j=1

j

n

. b) Bestimmen Sie den Konvergenzradius R der Potenzreihe

∞

P

k=1

(2k − 1)

2

(2k)! x

. Hinweis: F¨ur a ∈ R gilt lim

(1 +

)

= e

.

Aufgabe 2: (4 Punkte)

Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale mit Hilfe der Methode der Rationalisie- rung:

i) R dx

sin x , 0 < x < π ii) R dx

1 + cos x , − π < x < π iii) R dx (x − 1) √

x

− 1 , x > 1.

Aufgabe 3: (4 Punkte)

Gegeben sei die Kurve α durch die Parametrisierung α(t) = t

1 2

t

mit t ∈ R . a) Bestimmen Sie die Bogenl¨ange L von α f¨ur das Intervall [0,4].

b) Bestimmen Sie Radius und Mittelpunkt des Kr¨ummungskreises C(α(t

)) f¨ur t

= 1.

Aufgabe 4: (4 Punkte) Es sei f (x, y) =





 x

y

x

+ y

, falls (x, y) 6 = (0, 0) 0 , falls (x, y) = (0, 0)

.

a) Untersuchen Sie die Stetigkeit von f auf R

.

b) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen f

, f

von f in allen Punkten ( x, y ) ∈ R \ { (0 , 0) } .

c) Bestimmen Sie die Richtungsableitungen f

von f in (0, 0) und berechnen Sie mit deren

Hilfe die partiellen Ableitungen f

, f

von f in (0, 0).