Rheinisch-Westf¨alische Technische Hochschule Aachen Institut f¨ur Mathematik
Prof. Dr. Heiko von der Mosel
Michael Dahmen, Tobias Hermes, Matthias Schlottbom
Ubungen zur Vorlesung ¨ Variationsrechnung I Serie 8 vom 4.12.2007
Aufgabe 29
[Unterhalbstetigkeit imRn]
Zeigen Sie: Eine auf demRnunterhalbstetige Funktionf nimmt auf jeder nichtleeren kom- pakten MengeK⊂Rnihr Infimum an, d.h. es gibt einx∈K, so dass
f(x) =inf
K f(.).
Aufgabe 30
[Charakterisierung der Unterhalbstetigkeit]
SeiXein topologischer Raum, so dass jeder Punktx∈Xeine abz¨ahlbare Umgebungsbasis besitzt. Dann gilt: f :X →Rist unterhalbstetig (bzw. oberhalbstetig) genau dann, wenn
f−1[(a,∞)](bzw. f−1[(−∞,a)]) offen ist f¨ur allea∈R.
Aufgabe 31
[Unterhalbstetigkeit des L¨angenfunktionals]
Zeigen Sie, dass das L¨angenfunktional L(u):=R01p
1+ (u0(x))2dxunterhalbstetig ist bez¨uglich der schwachen Konvergenz inW1,p(I), p∈(1,∞), nicht aber stetig bez¨uglich dieser Konvergenz.
Hinweis: F¨ur ein Gegenbeispiel gegen die schwache Stetigkeit approximieren Sie eine kon- stante Funktion geeignet durch Zackenfunktionen.
Aufgabe 32
[Klassische Nullrandwerte]
Sei 1≤p<∞undI= (a,b)⊂R,−∞<a<b<∞.
Zeigen Sie: F¨uru∈W1,p(I)mitu(a) =u(b) =0 giltu∈W01,p(I).
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