Aufgabe 21

Rheinisch-Westf¨alische Technische Hochschule Aachen Institut f¨ur Mathematik

Prof. Dr. Heiko von der Mosel

Michael Dahmen, Tobias Hermes, Matthias Schlottbom

Ubungen zur Vorlesung ¨ Variationsrechnung I Serie 6 vom 20.11.2007

Aufgabe 21

[Eigenschaften von Differenzenquotienten]

Beweisen Sie f¨ur u∈L^p(Ω), v∈L^q(Ω), 1≤p≤∞ mit p⁻¹+q⁻¹=1 die folgenden Eigenschaften von Differenzenquotienten4^e_h^l≡ 4_h,e_l∈Sⁿ⁻¹,l∈ {1, . . . ,n},h6=0:

(i)

4_h(uv)(x) = (4_hu)(x)v(x) +u_h(x)4_hv(x) = (4_hu)(x)v_h(x) +u(x)4_hv(x)

f¨ur fast allex∈Ω,|h|<dist(x,∂Ω),wobei f¨ur eine Funktion f:Ω→R f_h(x):= f(x+he_l)

gesetzt wurde.

(ii) Fallsuodervkompakten Tr¨ager inΩhaben, dann gilt f¨ur|h| 1 Z

Ω

u(x)4_hv(x)dx=− Z

Ω

4−hu(x)v(x)dx.

Aufgabe 22

[Stetige Fortsetzung]

SeienX ein normierter Vektorraum,Y ein Banachraum undZ⊂X eine dichte Teilmenge.

(i) Zeigen Sie, dass jede gleichm¨aßig stetige Funktion f :Z →Y genau eine stetige Fortsetzung ˜f :X→Y besitzt.

(ii) Beweisen Sie, dass es zuT ∈L(Z,Y)genau eine stetige Fortsetzung ˜T ∈L(X,Y) gibt.

Hinweis: DasPrinzip der eindeutigen stetigen Fortsetzung wird wiederholt in der Vorle- sung benutzt, siehe z.B. den Beweis von Lemma 2.7.

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Aufgabe 23

[Eine Kettenregel f ¨ur Sobolevfunktionen]

Beweisen Sie: SeiΩ⊂Rⁿoffen und nichtleer. Dann ist f¨uru∈W^1,p(Ω),1≤p≤∞, und f∈C¹(R)mitf(0) =0, f⁰∈L^∞(R), die Komposition f◦u∈W^1,p(Ω), und es gilt

D(f◦u) =f⁰(u)Du.

Hinweis: Approximieren Sie u zun¨achst mit glatten Funktionen u_m.

Aufgabe 24

[Fortsetzung von Funktionen]

F¨uru:Rⁿ⁻¹×[0,∞)→Rsei

E₀u(y,t):=

(u(y,t) f¨ur t≥0

∑^k+1_i=1σiu(y,−it) f¨ur t<0, wobei

k+1

∑

i=1

σi(−i)^m=1 f¨ur alle m=0, . . . ,k, (1) gelten soll.

(i) Zeigen Sie, dass (1) genau eine L¨osungσ= (σ₁, . . . ,σ_k+1)besitzt.

(ii) Beweisen Sie, dass f¨uru∈C₀^∞(Rⁿ⁻¹×[0,∞)) E0u∈C^k₀(Rⁿ) gilt.

Hinweis: Diese Resultate gehen in den Beweis des Fortsetzungssatzes f¨ur Sobolev- funktionen, Satz 2.12, ein.

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