Aufgabe 33

Rheinisch-Westf¨alische Technische Hochschule Aachen Institut f¨ur Mathematik

Prof. Dr. Heiko von der Mosel Tobias Hermes, Patrick Overath

Ubungen zur Vorlesung ¨ Variationsrechnung I Serie 9 vom 14.12.2009

Aufgabe 33

SeiI= (0,1),α,β∈R,G(v):=^R_I[ϕ(v⁰(x)) +v(x)]dx,wobei

ϕ(p):=

((1−p²)² f¨ur |p|>1, 0 f¨ur |p| ≤1,

und es gelteG(u) =inf_C(α,β)G(.)f¨ur

u∈C(α,β):={v∈W^1,4(I):v(0) =α,v(1) =β}.

Zeigen Sie:

0= Z

I

[ϕ⁰(u⁰(x))−x]η⁰(x)dxf¨ur alle η∈C^∞₀(I).

Hinweis: Berechnen SieδG(u,η).

Aufgabe 34

[Lagrange Multiplikatorregel mit mehreren Nebenbedingungen]

VOR.: SeienF,G₁,G₂, . . . ,G_m∈C¹(R×R^N×R^N),mit

|F|+|F_z|+|F_p|+

m i=1

∑

[|G_i|+|(G_i)_z|+|(G_i)_p|]≤C(1+|p|²)auf ¯I×R^N×R^N,

undu∈W^1,2(I,R^N)erf¨ulle

F(u) =inf

C F(.), wobei

C :={v∈W^1,2(I,R^N):Gi(v) =c_i,i=1, . . . ,m},

c_i ∈ R, Gi(v):= ^R_IG_i(x,v(x),v⁰(x))dx, i =1, . . . ,m. Weiterhin gebe es ψ1, . . . ,ψm ∈ C^∞(I,¯R^N),so dass die(m×m)-Matrix(δGi(u,ψj))_{i j}invertierbar ist.

BEH.: Es gibtλ1, . . . ,λm∈R,so dass

δF(u,ϕ) +

m i=1

∑

λiδGi(u,ϕ) =0 f¨ur alle ϕ∈C^∞(I,¯R^N).

1

Definition: Ein BanachraumXheißtuniform konvex, wenn es zu jedemε>0 einδ(ε)>0 gibt, so dass gilt: F¨uru,v∈X mitkuk_X=kvk_X=1 und mitku−vk_X≥εgiltku+vk_X≤ 2(1−δ).(Gleichbedeutend ist: Ausku_kk_X =kv_kk_X =1 undku_k+v_kk_X→2 folgtku_k− v_kk_X→0.)

Aufgabe 35

[Normkonvergenz & schwache Konvergenz⇒starke Konvergenz]

SeiXein uniform konvexer Banachraum. Zeigen Sie: Ausu_k*uinXundku_kk_X→ kuk_X folgtku_k−uk_X→0.

Hinweis: Machen Sie sich klar, dass Sie ohne Einschr¨ankung annehmen d¨urfen, dass ku_kk_X=kuk_X=1,und nutzen Sie dann die schwache Unterhalbstetigkeit der Norm (vgl.

Aufgabe 25 (ii)).

Aufgabe 36

[Clarkson f ¨urq∈[2,∞)]

Die Banachr¨aumeL^q(I), 1<q<∞, sind uniform konvex. Zeigen Sie das f¨urq∈[2,∞).

Hinweis: Beweisen Sie

|x+y|^q+|x−y|^q≤2^q−1(|x|^q+|y|^q)f¨ur alle x,y∈R,q≥2.

2