Aufgabe 37

Rheinisch-Westf¨alische Technische Hochschule Aachen Institut f¨ur Mathematik

Prof. Dr. Heiko von der Mosel Till Knoke

Ubungen zur Vorlesung ¨ Variationsrechnung I Serie 10 vom 14.12.2011

Abgabedatum: 9.1.2012

Definition: Ein BanachraumXheißtuniform konvex, wenn es zu jedemε>0 einδ(ε)>0 gibt, so dass gilt: F¨uru,v∈X mitkuk_X=kvk_X=1 und mitku−vk_X≥εgiltku+vk_X≤ 2(1−δ).(Gleichbedeutend ist: Ausku_kk_X =kv_kk_X =1 undku_k+v_kk_X→2 folgtku_k− v_kk_X→0.)

Aufgabe 37

[Normkonvergenz & schwache Konvergenz⇒starke Konvergenz]

SeiXein uniform konvexer Banachraum. Zeigen Sie: Ausu_k*uinXundku_kk_X→ kuk_X folgtku_k−uk_X→0.

Hinweis: Machen Sie sich klar, dass Sie ohne Einschr¨ankung annehmen d¨urfen, dass ku_kk_X=kuk_X=1,und nutzen Sie dann die schwache Unterhalbstetigkeit der Norm (vgl.

Aufgabe 27 (ii)).

Aufgabe 38

[Clarkson f ¨urq∈[2,∞)]

Die Banachr¨aumeL^q(I), 1<q<∞, sind uniform konvex. Zeigen Sie das f¨urq∈[2,∞).

Hinweis: Beweisen Sie

|x+y|^q+|x−y|^q≤2^q−1(|x|^q+|y|^q)f¨ur alle x,y∈R,q≥2.

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Aufgabe 38*

[Clarkson f ¨urq∈(1,2)]

Beweisen Sie die Aussage aus Aufgabe 38 f¨urq∈(1,2).

Hinweis: Sie d¨urfen benutzen, dass es in einem normierten, uniform konvexen Raum X mit p∈(1,∞)zu jedemε>0einδp(ε)mit der Eigenschaft

|kxk,kyk ≤1,kx−yk| ≥ε =⇒ k1

2(x+y)k^p≤(1−δp)kxk^p+kyk^p 2

gibt. (Beweis?) Obige Gleichung gilt dann auch f¨ur beliebige x,y∈ X , wobei δp = δ_p(max(kxk,kyk)^kx−yk ). Betrachten Sie nun f¨ur f,g∈L^p(I)die Mengen

M=

t∈I

|f(t)−g(t)|^p≥ε^p

4 (|f(t)|^p+|g(t)|^p)

≥ε^p

4 max(|f(t)|^p,|g(t)|^p)

und N:=I\M.

Aufgabe 39

SeiG∈C¹(R), und es gebe eine KonstanteC≥0, so dass|G⁰(z)| ≤ C(1+|z|)f¨ur allez∈R.Beweisen Sie die Existenz einer Funktion

u∈C0:={w∈W₀^1,2((0,1)): Z 1

0

G(w(x))dx=0}, so dassD(u) =inf_C0D, wobei

D(w):=1 2

Z 1 0

|u⁰(x)|²dx

das Dirichlet-Integral bezeichnet. Hierbei nehmen wir an, dass die Klasse C0 zul¨assiger Funktionen nicht leer ist.

Aufgabe 40

Sei f ∈L²((0,1)). Zeigen Sie, dass das Variationsintegral

F(w):=

Z 1 0

h1

2|w⁰(x)|²−f(x)w(x)i dx

eineneindeutigenMinimierer in der Klasse

C :={w∈W₀^1,2((0,1)):|w⁰(x)| ≤1 f¨urL¹-fast allex∈(0,1)}

besitzt.

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