Aufgabe 37*

Rheinisch-Westf¨alische Technische Hochschule Aachen Institut f¨ur Mathematik

Prof. Dr. Heiko von der Mosel Tobias Hermes, Patrick Overath

Ubungen zur Vorlesung ¨ Variationsrechnung I Serie 10 vom 21.12.2009

Aufgabe 37*

[Clarkson f ¨urq∈(1,2)]

Beweisen Sie die Aussage aus Aufgabe 36 f¨urq∈(1,2).

Hinweis: Sie d¨urfen benutzen, dass es in einem normierten, uniform konvexen Raum X mit p∈(1,∞)zu jedemε>0einδ_p(ε)mit der Eigenschaft

|kxk,kyk ≤1,kx−yk| ≥ε =⇒ k1

2(x+y)k^p≤(1−δ_p)kxk^p+kyk^p 2

gibt. (Beweis?) Obige Gleichung gilt dann auch f¨ur beliebige x,y∈ X , wobei δ_p = δp(max(kxk,kyk)^kx−yk ). Betrachten Sie nun f¨ur f,g∈L^p(I)die Mengen

M=

t∈I

|f(t)−g(t)|^p≥ε^p

4 (|f(t)|^p+|g(t)|^p)

≥ε^p

4 max(|f(t)|^p,|g(t)|^p)

|

und N:=I\M.

Aufgabe 38

SeiG∈C¹(R), und es gebe eine KonstanteC≥0, so dass|G⁰(z)| ≤ C(1+|z|)f¨ur allez∈R.Beweisen Sie die Existenz einer Funktion

u∈C0:={w∈W₀^1,2((0,1)): Z 1

0

G(w(x))dx=0}, so dassD(u) =inf_C0D, wobei

D(w):=1 2

Z ₁ 0

|u⁰(x)|²dx

das Dirichlet-Integral bezeichnet. Hierbei nehmen wir an, dass die Klasse C0 zul¨assiger Funktionen nichtleer ist.

Aufgabe 39

Beweisen Sie die folgende (f¨ur den Beweis des Satzes von Reshetnyak benutzte) elementare Aussage: F¨ur zwei reelle Zahlenfolgen{a_k}und{b_k}mita_k→af¨ur k→∞gilt

lim inf

k→∞ (a_k−b_k) =a−lim sup

k→∞

b_k.

1

Aufgabe 40

Sei f ∈L²((0,1)). Zeigen Sie, dass das Variationsintegral F(w):=

Z 1 0

h1

2|w⁰(x)|²−f(x)w(x)i dx

eineneindeutigenMinimierer in der Klasse

C :={w∈W₀^1,2((0,1)):|w⁰(x)| ≤1 f¨urL¹-fast allex∈(0,1)}

besitzt.

Aufgabe 41

Sei f ∈C¹(R^N),q>1, und es gebec₀>0, so dass c₀|p|^q≤ f(p)f¨ur alle p∈R^N. Zeigen Sie:

(i) ∇f(.):R^N→R^N surjektiv.

(ii) Falls f zus¨atzlich konvex ist, dann gilt|∇f(p)| →∞f¨ur|p| →∞.

Hinweis: Betrachten Sie f¨ur Teil (i) zu beliebig vorgegebenem v∈R^N die Funktion g_v: R^N→R^Nmit g_v(x):=f(x)−x·v.Nutzen Sie f¨ur Teil (ii) die wegen der Konvexit¨at g¨ultige Beziehung

f(0)≥f(p) + (0−p)∇f(p) f¨ur alle p∈R^N.

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