LEHRSTUHL II F ¨ UR MATHEMATIK DER RHEINISCH – WESTF ¨ ALISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE AACHEN

LEHRSTUHL II F ¨ UR MATHEMATIK DER RHEINISCH – WESTF ¨ ALISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE AACHEN

Prof. Dr. Eberhard Triesch

Aachen, den 31.07.2002

Klausur zur Vorlesung H¨ ohere Mathematik II Herbst 2002

Aufgabe 1 (3 Punkte):

Bestimmen Sie den Grenzwert lim

x → 1

Z ¹

x

ln(sin π 2 t) dt (1 − x ² ) ² .

Aufgabe 2 (3 Punkte):

Gegeben sei die Funktion f : [ − 1, ∞ ) → R mit f (x) = √ 1 + x.

a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom zweiter Ordnung T 2 (x, 0, f).

b) Zeigen Sie, dass f¨ur alle x ∈ [ − ¹ 2 , ¹ ₂ ] die Ungleichung | f (x) − T 2 (x, 0, f ) | ≤ ^√ 32 ² gilt.

Aufgabe 3 (4 Punkte):

Berechnen Sie den Wert des folgenden Integrals:

Z ¹

0

1 (t ² + ¹ ₂ ) √

t ² + 1 dt.

Aufgabe 4 (6 Punkte):

L¨osen Sie das folgende Integral und bestimmen Sie die zul¨assigen Grenzen α, β ∈ R : Z β

α

3(x + 1) x(x ³ − 1) dx.

Aufgabe 5 (4 Punkte):

Gegeben sei die Kurve Γ ¹ durch die Parameterdarstellung γ ¹ (t) = ¹

2 t ²

1 3 t ³

mit t ∈ R . a) Bestimmen Sie die Bogenl¨ange L(T ) f¨ur das Parameterintervall [0 , T ] mit T > 0.

b) Bestimmen Sie den Radius und den Mittelpunkt des Kr¨ummungskreises C(γ 1 (t 0 )) f¨ur t ⁰ = 1.

c) Sei die Kurve Γ ² gegeben durch die Parameterdarstellung γ ² (t) = (1 − t) ¹

2 1 3

f¨ur t ∈ R. F¨ur t ∈ [0, 1] schließen die beiden Kurven γ 1 (t) und γ 2 (t ) eine Fl¨ache G ein. Berechnen Sie den orientierten Fl¨acheninhalt A(G) von G.

bitte wenden!!

Aufgabe 6 (4 Punkte):

Gegeben sie die Funktion f : R ² → R mit

f (x, y) =



 

 

x ² + y ²

p x ² + y ² + 1 − 1 , falls (x, y) 6 = (0, 0)

2 , falls (x, y) = (0, 0).

a) Zeigen Sie ohne Verwendung von Differentialrechnung, dass f im Punkte (0, 0) ein glo- bales Minimum besitzt (Hinweis: Erweitern Sie den Bruch so, dass die Wurzel im Nenner verschwindet).

b) Zeigen Sie, dass f stetig auf R ² ist.

c) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung von f f¨ur alle (x, y) ∈ R ² .

Aufgabe 7 (3 Punkte):

Bestimmen Sie alle lokalen Extrema und Sattelpunkte der Funktion f : R ² → R mit f (x, y) = x ³ − y ² + 2xy − x.

Aufgabe 8 (5 Punkte):

Gegeben sei die Funktion f : R ³ → R durch f (x ¹ , x 2 , x 3 ) = x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 . Berechnen

Sie mit der Lagrangeschen Methode den maximalen und den minimalen Funktionswert der

Funktion f unter den Nebenbedingungen x ² 1 + x ² 2 = 8 und x ¹ + x ² + x ³ = 8.