Ubungen zur Vorlesung ¨ Partielle Differentialgleichungen II

Rheinisch-Westf¨alische Technische Hochschule Aachen Institut f¨ur Mathematik

Prof. Dr. Heiko von der Mosel Dipl. Math. Simon Blatt

Ubungen zur Vorlesung ¨ Partielle Differentialgleichungen II

Serie 17 vom 27.4.2006

Aufgabe 65

Beweisen Sie ohne Verwendung des Lemmas von Sard die Aussage Lⁿ(Du(Γ⁺_u))≤

Z

Γ⁺u

|det D²u(x)|dx f¨ur u∈C²(Ω).

Hinweis: Betrachten Sie zun¨achst f¨ur ε>0 die Abbildung y7→Du(y)−εy aufΓ⁺_u und verwenden Sie die ¨Ubungsaufgabe 62 und den klassischen Transformationssatz, bevor Sie εgegen 0 gehen lassen.

Aufgabe 66

Beweisen Sie Proposition 6.4 der Vorlesung:

F¨urΩ⊂⊂Rⁿoffen, eine messbare, punktweise positiv definite Matrixfunktion A= (a_{i j}): Ω→R^n×nund u∈C²(Ω)∩C⁰(Ω)gilt

supΩ u≤sup

∂Ωu+diamΩ nω_n^1/n

a_{i j}∂i ju det(a_{i j})^1/n

Lⁿ(Γ⁺u)

.

Hinweis: Benutzen Sie Propostion 6.3 der Vorlesung, die Aufgabe 62 (iv) und die Unglei- chung zwischen dem geometrischen und arithmetischen Mittel, die Sie anwenden k¨onnen, sobald sie das Matrixprodukt AB, B=−D²u, mit Hilfe der Wurzelzerlegung B=S²sym- metrisiert haben.

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Aufgabe 67

(i) Seien a_i,b_i≥0,i=1, . . . ,N, p,q∈(1,∞)mit 1 p+1

q =1.

Beweisen Sie die (diskrete) H¨olderungleichung

∑

a_ib_i≤

∑

a_i^p

!1/p

∑

b^q_i

!1/q

und diskutieren Sie den Gleichheitsfall.

(ii) Verwenden Sie (i), um die in der Vorlesung beim Beweis von Satz 6.2 benutzten Ungleichungen

−a_{i j}∂_{i j}u≤

|b|ⁿ+|f|ⁿ µⁿ

1/n

|Du|^n/(n−1)+µ^n/(n−1) (n−1)/n

und

2²⁻ⁿ 1

|ξ|ⁿ+µⁿ≤

1

|ξ|^n/(n−1)+µ^n/(n−1) n−1

nachzuweisen. Hierbei sind µ>0, ξ ∈Rⁿ, n∈N, u∈C²(Ω), ai j,b_i,f :Ω→R messbar f¨ur i,j=1, . . . ,n.

Aufgabe 68

Seien Am⊂Ω⁰⊂⊂Ω, m∈N, g∈L¹(Ω)und am→a inRf¨ur m→∞mit a_m≤ kgk_L1(Am) f¨ur alle m∈N.

Zeigen Sie, dass

a≤ kgk_L1(lim sup_m→∞Am),

wobei

lim sup

m→∞ A_m:={x∈Ω⁰: ∃x_m∈A_m: x_m→x f¨ur eine Teilfolge m→∞}.

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