Ubungen zur Vorlesung ¨ Elementare Differentialtopologie

Rheinisch-Westf¨alische Technische Hochschule Aachen Institut f¨ur Mathematik

Prof. Dr. Heiko von der Mosel Dipl. Math. Patrick Overath

Ubungen zur Vorlesung ¨ Elementare Differentialtopologie

10.12.2012

Aufgabe 1

Zeigen Sie anhand eines Beispiels, dass nicht jede glatte, bijektive Abbildung zwischen zwei glatten Mannigfaltigkeiten¹ein Diffeomorphismus sein muss.

Aufgabe 2

(i) Zeigen Sie mit Hilfe der stereographischen Projektion, dass man die Einheitssph¨are S²⊂R³mit nur zwei lokalen Parametrisierungen ¨uberdecken kann.

Hinweis: Die Stereographische ProjektionπN vonS²\ {(0,0,1)} auf diex−y- EbeneR²× {0} ∼= R²l¨asst sich geometrisch folgendermaßen beschreiben: Jeder Strahl, der vom NordpolN := (0,0,1)ausgeht und dieS²in einem weiteren Punkt p∈S²trifft, schneidet diex−y-Ebene in einem PunktπN(p)∈R².

(ii) Verallgemeinern Sie die stereographische Projektion auf einen Diffeomorphismus vonS^k \ {N} → R^k,wobeiS^k := {x ∈ R^k+1 : |x| = 1} ⊂ R^k+1 undN :=

(0, . . . ,0,1)∈R^k+1.

(iii) Zeigen Sie, dass man diek-dimensionale Einheitssph¨areS^knicht durch eine einzige Parametrisierung beschreiben kann.

Aufgabe 3

F¨ur eine MengeX⊂R^M nennt man die Menge

∆(X) :={(x, x) :x∈X} ⊂X×X

dieDiagonalevonX×X. Zeigen Sie:

(i) ∆(X)ist diffeomorph zuX.

(ii) Falls X = M eine glatte Mannigfaltigkeit ist, dann ist auch ∆(M)eine glatte Mannigfaltigkeit.

(iii) Seif :M →M ×M die glatte Abbildung gegeben durchf(x) := (x, x),wobei M ⊂R^M eine glatte Mannigfaltigkeit ist. Zeigen Sie f¨ur das Differential vonf die Beziehung

df_x(v) = (v, v) f¨ur alle v∈T_xM.

(iv) Sei∆(M)f¨ur eine glatte MannigfaltigkeitM ⊂ R^M die Diagonale der Produkt- mannigfaltigkeitM×M(vgl. Prop. 1.3 der Vorlesung). Zeigen Sie f¨ur den Tangen- tialraum von∆(M)die Beziehung

T_(x,x)∆(M) = ∆(T_xM).

1Der BegriffMannigfaltigkeitist in allen Aufgaben im Sinne der Definition 1.2 der Vorlesung als Unterman- nigfaltigkeit eines umgebenden euklidischen Raums zu verstehen.

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Aufgabe 4

(i) Zeigen Sie, dassR^mundRⁿnichtdiffeomorph sind, fallsm6=n.

(ii) Seif :R→Rein lokaler Diffeomorphismus. Zeige, dass das Bild vonfein offenes IntervallI⊂Rist. Zeige dann, dassfdie MengeRdiffeomorph auf dieses Intervall Iabbildet.

(iii) Konstruieren Sie einen lokalen Diffeomorphismus f : R² → R², der aber kein Diffeomorphismus auf sein Bild ist.

(iv) Jeder lokale Diffeomorphismusf :X →Y, wobeiX ⊂R^M undY ⊂R^N ist ein diffeomorphismus auf eine relativ offene Teilmenge vonY, fallsf injektiv ist.

Aufgabe 5

SeienM,N ,OundPglatte Mannigfaltigkeiten. Zeigen Sie:

(i) Wennf :M →N undg:O →PImmersionen sind, dann auchf×g:M×O→ N ×P.Hinweis zur Erinnerung:(f×g)(x, y) := (f(x), g(y)).

(ii) Fallsf :M →N undg:N →OImmersionen sind, dann auchg◦f :M →O. (iii) Fallsf :M →N eine Immersion ist, dann auch die Einschr¨ankungf|_Z :Z →

N vonf auf eine UntermannigfaltigkeitZ ⊂M.

(iv) FallsdimM = dimN , dann sind Immersionen f : M → N lokale Diffeo- morphismen, und umgekehrt sind lokale Diffeomorphismen f : M → N auch Immersionen.

Aufgabe 6

Benutzen Sie zu der Bearbeitung dieser Aufgabe die Aussagen aus Aufgabe 5.

(i) Zeigen Sie, dassg:R¹→S¹gegeben durch g(t) :=

cos 2πt sin 2πt

ein lokaler Diffeomorphismus ist.

(ii) Zeigen Sie, dass die AbbildungG: R² →S¹×S¹gegeben durchG:=g×gein lokaler Diffeomorphismus ist.

(iii) FallsLein1-dimensionaler Unterraum desR²ist, dann ist die Einschr¨ankungG|L: L→S¹×S¹vonGaufLeine Immersion.

(iv) Zeigen Sie, dassGinjektiv ist, falls die GeradeLeine irrationale Steigung hat.

(v) Zeigen Sie, dass das BildG(L)dicht inS¹×S¹liegt, fallsLeine irrationale Steigung hat.

(vi) Zeigen Sie, dassG|L : L → S¹×S¹eine periodische Parametrisierung einer ge- schlossenen Kurve auf dem TorusS¹×S¹liefert, falls die Steigung vonLrational ist.

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(vii) Geben Sie eine Einbettung des TorusS¹×S¹ ⊂ R⁴ in denR³ an.Hinweis: Ziel ist die Darstellung des Torus als Rotationsfl¨ache im R³. ¨Ahnlich wie im Beispiel 12 der Vorlesung mache man sich klar, dass die Zuordnung eines Punktes(x, y) = (cosφ,sinφ)∈S¹auf seinen Polarwinkelφeine glatte Abbildung ist.

(viii) Nutzen Sie die Einbettung des Torus in denR³, um die in Teil [vi] erhaltenen ge- schlossenen Kurven als periodisch parametrisierte Kurven auf dem Torus imR³dar- zustellen (Torusknoten).

Aufgabe 7

(i) Zeigen Sie, dass die Lissajous-Kurven γ(t) :=

Asin(at+δ) Bsin(bt)

f¨ur t∈R f¨ur bestimmte Parametera, b, A, B, δnicht injektive Immersionen sind.

(ii) Modifizieren Sie die Parametrisierungen aus Teil (i) so, dass Sie eine injektive Im- mersionγ˜ : R¹ → R² erhalten, die aber trotzdem keine Einbettung ist (vgl. mit Beispiel 10 der Vorlesung.

Aufgabe 8

Sei f : M → N eine glatte Abbildung zwischen den Mannigfaltigkeiten M und N . Dar¨uberhinaus seif|_Z : Z → N injektiv auf einer kompakten Untermannigfaltigkeit Z ⊂M,und es gelte f¨ur allez∈Z, dass

df_z:T_zM →T_f(z)N ein Isomorphismus ist.

Zeigen Sie, dassfeine hinreichend kleine relativ offene Umgebung vonZ inM auf eine relativ offene Umgebung vonf(Z)diffeomorphabbildet. Wieso ist das eine Verallgemei- nerung von dem Satz ¨uber inverse Funtkionen, Satz 1.10 der Vorlesung?

Hinweis: Nach Aufgabe 4 (iv) reicht es, die Injektivit¨at vonf auf einer Umgebung vonZ zu zeigen.

Aufgabe 9

(i) Zeigen Sie, dass der Wert0der einzige kritische Wert der Abbildungf : R → R gegeben durch

f(x, y, z) :=x²−y²−z² ist.

(ii) Zeigen Sie f¨ura, b ∈Rmit strikt positivem Produktab, dass die Urbildmannigfal- tigkeitenf⁻¹(a)undf⁻¹(b)diffeomorph sind.

(iii) Seipein Polynom inkVariablen mit der Homogenit¨atsbeziehung p(tx1, . . . , txk) =t^lp(x1, . . . , xk) f¨ur alle x1, . . . , xk

f¨ur einl >0. Zeigen Sie, dass f¨ura6= 0die Urbilderp⁻¹(a)Untermannigfaltigkei- ten desR^kder Dimensionk−1sind.

(iv) Zeigen Sie, dass alle Mannigfaltigkeitenp⁻¹(a)f¨ura >0diffeomorph sind, ebenso die f¨ura <0.

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Aufgabe 10

SeiSL(n) :={A∈M(n) =R^n×n: detA= 1}.

(i) Zeigen Sie, dass dies eine Gruppe bez¨uglich der Matrixmultiplikation ist, und dass die Gruppenoperationen Matrixmultiplikation und ¨Ubergang zur Inversen glatt sind.

(ii) Zeigen Sie, dassSL(n)eine Untermannigfaltigkeit vonM(n), also eine Lie Gruppe ist.

Hinweis: Um zu zeigen, dass 0 der einzige kritische Wert der Abbildung det : M(n)→Rist, kann man Aufgabe 9 (iii) heranziehen.

(iii) Zeigen Sie, dass T_Id

RⁿSL(n) ={B∈M(n) : SpurB= 0}.

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