Ubungen zur Vorlesung ¨ Variationsrechnung II Serie 3 vom 20.5.2010

Rheinisch-Westf¨alische Technische Hochschule Aachen Institut f¨ur Mathematik

Prof. Dr. Heiko von der Mosel Tobias Hermes, Patrick Overath

Ubungen zur Vorlesung ¨ Variationsrechnung II Serie 3 vom 20.5.2010

Aufgabe 9

[Iterationslemma]Zeigen Sie:

Sei f;[r₁,r₂]→Reine nichtnegative beschr¨ankte Funktion, 0≤r1<r2<∞,so dass f¨ur KonstantenA,B,α≥0 undθ∈[0,1)die Beziehung

f(t)≤θf(s) + A

(s−t)^α +B f¨ur alle r₁≤t<s≤r₂ (1) gilt. Dann existiert eine vonθundα abh¨angige Konstantec≥0, so dass

f(ρ)≤c

A

(R−ρ)^α +B

f¨ur alle r₁≤ρ<R≤r₂.

Hinweis: Betrachten Sie f¨ur einen geeigneten Parameterτ∈(0,1)die Folge von Parame- tern t₀:=ρund t_k+1−t_k:= (1−τ)τⁱ(R−ρ)und benutzen Sie(1)iterativ.

Aufgabe 10

[Harmonische Fortsetzung auf der Einheitskreisscheibe]SeiB_R(0)⊂ R²die offene Kreisscheibe imR²mit RadiusR∈(0,1].

(i) Dr¨ucken Sie den Laplace-Operator in Polarkoordinaten(r,θ)um den Ursprung aus und zeigen Sie, dass die Funktionen

f_k(r,θ):=r R

k

(a_kcos(kθ) +b_ksin(kθ)), a_k,b_k∈R, harmonisch inB_R(0)sind.

(ii) Zeigen Sie unter der Bedingung, dass

∞ k=1

∑

(|a_k|+|b_k|)<∞,

dass die Funktion

u(r,θ):=a₀ 2 +

∞ k=1

∑

r R

k

(a_kcos(kθ) +b_ksin(kθ)) von der KlasseC⁰(B_R(0))∩C^∞(B_R(0))und harmonisch inB_R(0)ist.

(iii) Weisen Sie nach, dass D(u):=1

2 Z

BR(0)

|Du|²dx=π 2

∞

∑

k=1

k(a²_k+b²_k)

(iv)* Finden Sie ein Beispiel von Randwertenv|_∂BR(0), deren harmonische Fortsetzung auf B_R(0)nichtvon der KlasseW^1,2(B_R(0))ist.

Hinweis: F¨ur Teil (iii) ist es nat¨urlich ratsam, auch das Dirichlet Integral in Polarkoordi- naten darzustellen.

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Aufgabe 11

[JORDAN-Kurve] SeiΓ⊂R³ eine geschlossene Jordankurve, d.h. das hom¨oomorphe Bild der EinheitskreislinieS¹imR³.

Zeigen Sie: F¨ur alle ε>0 existiert eine Zahlλ(ε)>0, so dass f¨ur alle PunkteP,S∈Γ mit|P−S|<λ(ε)der Diameter des k¨urzeren KurvenbogensΓkurz(P,S)aufΓ, derPmitS verbindet, echt kleiner alsεist: diamΓ_kurz(P,S)<ε.

Aufgabe 12

[SOBOLEV-POINCARE´ Ungleichung]

Zeigen Sie:

F¨ur allep∈[1,n)existiert eine KonstanteC=C(p,n), so dass _Z

Br(x)

|u(y)−u¯_Br(x)|^p∗dy 1/p^∗

≤Cr _Z

Br(x)

|Du(y)|^pdy 1/p

∀B_r(x)⊂Rⁿ,u∈W^1,p(B_r(x)),

wobei f¨ur eine MengeE⊂Rⁿund eine Funktion f:E→R f¯_E:=

Z

E

f(y)dy:= 1 Lⁿ(E)

Z

E

f(y)dy

gesetzt wurde.

Hinweis: Zeigen Sie zun¨achst f¨ur eine allgemeine Funktion v∈W^1,p(B_r(x))die Unglei- chung

_Z

Br(x)

|v|^p∗dy 1/p^∗

≤C

r^p Z

Br(x)

|Dv(y)|^pdy+ Z

Br(x)

|v(y)|^pdy 1/p

mit Hilfe der SOBOLEV-Ungleichung, die Sie auf die aufRⁿfortgesetzte Funktion Ev∈ W^1,p(Rⁿ)(vgl. Forsetzungssatz, Satz 2.12 aus VarI) anwenden k¨onnen, und wenden Sie anschließend die Ihnen bekannte POINCARE´-Ungleichung (Korollar 2.10 (iii) aus VarI) auf v(y):=u(y)−u¯_Br(x)an.

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