Ubungen zur Vorlesung ¨

Rheinisch-Westf¨alische Technische Hochschule Aachen Institut f¨ur Mathematik

Prof. Dr. Heiko von der Mosel Dipl. Math. Sebastian Scholtes

Ubungen zur Vorlesung ¨

Differentialgeometrie f¨ur Kurven und Fl¨achen Serie 2 vom 9.11.2010

Abgabedatum: 16.11.2010

Aufgabe 1

[Kr ¨ummung von Kurven]

Zeigen Sie, dass f¨ur (nicht notwendig nach der Bogenl¨ange parametrisierte) Immersionen γ∈C²(I,R²)die Kr¨ummungκdurch

κ(t) :=det(γ⁰(t)|γ⁰⁰(t))

|γ⁰(t)|³

gegeben ist, w¨ahrend f¨ur immergierte Raumkurvenγ∈C²(I,R³)die Kr¨ummung durch κ(t) :=|γ⁰(t)∧γ⁰⁰(t)|

|γ⁰(t)|³

dargestellt ist. Leiten Sie abschließend den Ausdruck f¨ur die Kr¨ummung eines Graphen graphf :={(x, f(x)) :x∈[a, b]}

in einem Punkt(x, f(x))her, wobeif ∈C²([a, b]).

Aufgabe 2

[Evoluten] F¨ur eine Bogenl¨angenparametrisierte KurveΓ ∈ C³(I,R²) auf einem abgeschlossenen IntervallI ⊂Rmit nichtverschwindender Kr¨ummungκund Einheitsnormalenvektornheißt

E(t) := Γ(t) + 1

κ(t)n(t), t∈I,

dieEvolutevonΓ.

(i) Zeigen Sie, dass die Tangente der Evolute vonΓbeitnormal ist zuΓan der Stellet.

(ii) SeiN(t)dieNormaleanΓdurch den PunktΓ(t), d.h. die Gerade durchΓ(t), deren Richtungsvektor der Einheitsnormalenvektorn(t)ist. Zeigen Sie, dass f¨ur|t−τ| 1 der SchnittN(t)∩ N(τ)nicht leer ist, und dass

τ→tlim

hN(t)∩ N(τ)i

⊂E(I).

Hinweis: Parametrisieren Sie die Normalen in Abh¨angigkeit von den Fußpunkten auf Γund von den Einheitsnormalen in diesen Punkten als Richtungsvektoren. Formen Sie die Bedingung, die ein Schnittpunkt dieser Normalen erf¨ullt, so um, dass auf der einen Seite ein Differenzenquotient vonΓauftaucht und bilden Sie das Skalarprodukt mitΓ⁰(t), bevor Sie den Grenz¨ubergangτ→tuntersuchen.

1

Aufgabe 3

[Globaler Kr ¨ummungsradius]

F¨ur eine Kurveγ : I → R^N mit einer Lipschitzstetigen Bogenl¨angenparametrisierung Γ : [0, L]→R^N definiert die Gr¨oße

ρG[γ](s) := inf

τ6=σ6=s6=τ τ,σ∈[0,L]

R(Γ(s),Γ(σ),Γ(τ))

denglobalen Kr¨ummungsradiusvonγan der Stelles ∈ [0, L]. Hierbei isR(x, y, z)der Radius des kleinsten Kreises, der die Punktex, y, z∈R^N enth¨alt:

R(x, y, z) :=











|x−y|

2|sin<)(x−z,y−z)| f¨ur x, y, z nicht kollinear,

|x−y|/2 f¨ur z=xoderz=y

∞ f¨ur x, y, z kollinear mitx6=y6=z6=x.

Zeigen Sie

(i) Fallsρ_G(γ)≥θ >0f¨ur alles∈[0, L], dann istγeinfach, d.h.Γist injektiv.

(ii) Falls die Bogenl¨angenparametrisierung von der KlasseC²([0, L],R³)ist, dann gilt

τ→s,σ→slim

τ6=ρ6=s6=τ

R(Γ(s),Γ(σ),Γ(τ)) = 1

|Γ⁰⁰(s)| = 1 κ(s).

Aufgabe 4

[Vergleichssatz f ¨ur die Kr ¨ummung]

Zeigen Sie:

F¨ur eine auf einem offenen IntervallI ⊂ Rnach der Bogenl¨ange parametrisierte Kurve Γ∈C²(I,R²)mitΓ(I)⊂BR(0),undΓ(t0)∈∂BR(0)f¨ur eint0∈Igilt|κ(t0)| ≥1/R.

Hierbei ist

BR(0) :={x∈R²:|x|< R}

die offene Kreisscheibe mit RadiusR.

2