Ubungen zur Vorlesung ¨ Partielle Differentialgleichungen I

Rheinisch-Westf¨alische Technische Hochschule Aachen Institut f¨ur Mathematik

Prof. Dr. Heiko von der Mosel Dipl. Math. Simon Blatt

Ubungen zur Vorlesung ¨ Partielle Differentialgleichungen I

Serie 10 vom 4.1.2006

Aufgabe 37

SeiΩ⊂⊂Rⁿein Gebiet mit ¨außerer Einheitsnormaleνauf∂Ω∈C¹.

(i) Beweisen Sie, dass die Dirichlet-Randwertaufgabe f¨ur die Eikonalgleichung, (|Du|²=1 in Ω

u=0 auf ∂Ω keine klassische L¨osung u∈C¹(Ω)∩C⁰(Ω)besitzt.

(ii) Beweisen Sie, dass die Neumann-Randwertaufgabe f¨ur die Gleichung vorgeschrie- bener Gauß-Kr¨ummung,

(∆u=1−Ke^u in Ω

∂u

∂ ν =0 auf ∂Ω

keine klassische L¨osung u∈C²(Ω)besitzt, wobei K<0 eine gegebene aufΩstetige Funktion ist.

Aufgabe 38

Seien X,Y,Z normierte Vektorr¨aume. Zeigen Sie, dass der Raum L(X,Y):={l : X→Y : l linear und stetig}

ein Banachraum ist, falls Y ein Banachraum ist. Zeigen Sie weiterhin, dass f¨ur T ∈L(X,Y) und S∈L(Y,Z)die Ungleichung

kSTk_L(X,Z)≤ kSk_L(Y,Z)kTk_L(X,Y) gilt.

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Aufgabe 39

Zeigen Sie, dass der H¨olderraum(C^k,α(Ω),k.k_Ck,α(Ω)),α∈(0,1], ein Banachraum ist (vgl.

Definition 3.5 der Vorlesung).

Aufgabe 40

[Eigenschaften von L^p-Funktionen]

SeiΩ⊂Rⁿoffen und nichtleer. Beweisen Sie:

(i) F¨urλ ∈[0,1]und u∈L^r(Ω)∩L^p(Ω)mit 1≤p≤q≤r<∞und mit 1

q =λ

p+1−λ r gelten die Ungleichungen

kuk_Lq(Ω)≤ kuk^λ_Lp(Ω)kuk^1−λ_Lr(Ω)

und f¨urλ∈(0,1]

kuk_Lq(Ω)≤εkuk_Lr(Ω)+ 1

ε^µkuk_Lp(Ω) f¨ur alle ε>0, wobei

µ:=

1 p−1

q

· 1

q−1 r

−1

.

Hinweis: Die zweite Ungleichung folgt aus der ersten mit Hilfe einer Variante der Youngschen Ungleichung: ab≤εa^s+ε^−t/sb^tf¨ur s⁻¹+t⁻¹=1.

(ii) Es gilt die verallgemeinerte H¨olderungleichung Z

ΩΠ^m_i=1u_i(x)dx≤Π^m_i=1ku_ik_Lpi(Ω)

f¨ur u_i∈L^pi(Ω), i=1, . . . ,m,mit

∑

1 p_i =1.

Hinweis: Dies folgt z.B. aus der gew¨ohnlichen H¨olderungleichung durch Induktion.

(iii) F¨ur u∈L_loc^p (Ω),1≤p<∞, gilt

ε→0limsup

|y|<ε

ku(.−y)−uk_Lp(Ω⁰)=0 f¨ur alle Ω⁰⊂⊂Ω.

Hinweis: Benutzen Sie ohne Beweis, dass f¨ur 1≤p<∞der Raum C₀⁰(Ω)dicht in L^p(Ω)liegt.

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