Ubungen zur Vorlesung ¨ Partielle Differentialgleichungen I

Rheinisch-Westf¨alische Technische Hochschule Aachen Institut f¨ur Mathematik

Prof. Dr. Heiko von der Mosel Dipl. Math. Simon Blatt

Ubungen zur Vorlesung ¨ Partielle Differentialgleichungen I

Serie 11 vom 11.1.2006

Aufgabe 41

(i) Zeigen Sie, dass die Funktion

u(x):=|x|, x∈Rⁿ, in W^1,∞(B₁(0))liegt.

(ii) Sei n=2.Zeigen Sie, dass die Funktion

u(x):=

(log log_|x|¹ f¨ur x∈B₁(0)\ {0}

0 f¨ur x=0

f¨ur 0<R<1 in W^1,2(B_R(0))liegt.

(iii) Sei n=1. Ist die Heavyside-Funktion

u(x):=

(1 f¨ur x≥0 0 f¨ur x<0 eine Sobolevfunktion? Begr¨unden Sie Ihre Antwort.

Aufgabe 42

Sei Ω⊂Rⁿ eine nichtleere offene Menge. Leiten Sie die schwache Form der partiellen Differentialgleichung

Lu=f in Ω

her, wobei L ein Differentialoperator in Divergenzform ist, d.h. f¨ur u∈C²(Ω)ist Lu :=∂i(a_{i j}∂ju+b_iu) +c_i∂iu+du. a_{i j},b_i∈C¹(Ω),c_i,d∈C⁰(Ω).

Beweisen Sie anschließend die G¨ultigkeit der schwachen Differentialgleichung f¨ur u∈ W^1,2(Ω) und Koeffizienten a_{i j},b_i.c_i,d ∈ L^∞(Ω), wobei der Raum der Testfunktionen φ∈C₀^∞(Ω)durch W₀^1,2(Ω)ersetzt werden soll.

Aufgabe 43

Beweisen Sie: F¨urΩ:=Rⁿ⁻¹×(0,∞)und u∈W^k,p(Ω),k∈N,1≤p<∞,gibt es u_m∈ C₀^∞(Rⁿ⁻¹×[0,∞))mit u_m→u in W^k,p(Ω)f¨ur m→∞.

Hinweis: W¨ahlen Sie einen Faltungskernη∈C₀^∞(B₁(0)∩[Rⁿ⁻¹×(−∞,0)])und argumen- tieren Sie dann wie in der Vorlesung im Beweis von Proposition 3.19 (ii).

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Aufgabe 44

[Eigenschaften von Differenzenquotienten]

Beweisen Sie f¨ur u∈L^p(Ω), v∈L^q(Ω), 1≤p≤∞ mit p⁻¹+q⁻¹=1 die folgenden Eigenschaften von Differenzenquotienten4^e_h^l≡ 4_h,e_l∈Sⁿ⁻¹,l∈ {1, . . . ,n},h6=0:

(i)

4_h(uv)(x) = (4_hu)(x)v(x) +u_h(x)4_hv(x) = (4_hu)(x)v_h(x) +u(x)4_hv(x)

f¨ur fast alle x∈Ω,|h|<dist(x,∂Ω),wobei f¨ur eine Funktion f :Ω→R f_h(x):=f(x+h)

gesetzt wurde.

(ii) Falls u oder v kompakten Tr¨ager inΩhaben, dann gilt f¨ur|h| 1 Z

Ωu(x)4_hv(x)dx=− Z

Ω4_−hu(x)v(x)dx.

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