Rheinisch-Westf¨alische Technische Hochschule Aachen Institut f¨ur Mathematik
Prof. Dr. Heiko von der Mosel Dipl. Math. Simon Blatt
Ubungen zur Vorlesung ¨ Partielle Differentialgleichungen II
Serie 18 vom 5.5.2006
Aufgabe 69
[Lebesgue-Punkte]SeiΩ⊂Rnoffen und f ∈Lp(Ω),p∈[1,∞].Dann heißt x∈Ωein Lebesgue-Punkt von f , falls
limr→0 Z
Br(x)
|f(y)−f(x)|dy :=lim
r→0
1 Ln(Br(x))
Z
Br(x)
|f(y)−f(x)|dy=0.
Bekanntlich sindLn-fast alle x∈ΩLebesgue-Punkte von f . Zeigen Sie:
(i) F¨urLn-fast alle x∈Ωgilt
f(x) =lim
r→0 Z
Br(x)
f(y)dy.
(ii) F¨urLn-fast alle x∈Ωgilt
f(x) = lim
Bri(zi)⊂Rn ri→0, x∈Bri(zi)
Z
Bri(zi)
f(y)dy.
(iii) [“Nicely shrinking sets” Ei→x]:
F¨urLn-fast alle x∈Ωgilt
f(x) =lim
i→∞
Z
Ei
f(y)dy,
wobei vorausgesetzt sei, dass eine Konstanteγ>0 existiert, so dass Ei⊂Bri(x) mit ri→0 f¨ur alle i→∞,
(1) Ln(Ei)≥γ·Ln(Bri(x)) ∀i∈N.
(iv) Geben Sie Beispiele von “nicely shrinking sets” Ei→0 im Rn, also Mengen Ei
mit den Eigenschaften (1) bez¨uglich x :=0, so dass 06∈Ei f¨ur alle i∈Nund auch Beispiele von Mengen Fimit 0∈Fif¨ur alle i∈N, die aber nicht die Eigenschaften (1) erf¨ullen.
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Aufgabe 70
[Charakterisierung von Lp-Funktionen nach F. Riesz]Beweisen Sie:
Sei Q0⊂Rnein n-dimensionaler W¨urfel mit achsenparallelen Seiten und f∈L1(Q0)durch 0 fortgesetzt zu f ∈L1(Rn).Qsei die Familie aller ¨Uberdeckungen von Q0mit achsenpar- allelen W¨urfeln mit paarweise disjunktem Inneren, und
Kp(f):=
"
sup
{Qi}∈Q
∑
i
Ln(Qi) Z
Qi
|f(x)|dx p#1/p
, p∈[1,∞).
Dann gilt
f ∈Lp(Q0) ⇔ Kp(f)<∞, und
kfkLp(Q0)=Kp(f).
Hinweis: F¨ur die Beweisrichtung “Kp(f)<∞⇒f ∈Lp(Q0)nehmen Sie die Unterteilung von Q0 in 2nk Unterw¨urfel Qik kongruent zu 2−kQ0 und sch¨atzen Sie zun¨achst die Lp- Normen der Funktionen
φi(x):=
Z
Qik
|f(y)|dy f¨ur x∈Qik gegen Kp(f)ab, dann betrachten Sie den Grenzprozess k→∞.
Aufgabe 71
[Stetigkeit des Newton-Potentials auf Lp-R¨aumen]F¨urΩ⊂⊂Rn,1≤p<∞, 1≤q≤∞mit 1 q >1
p−2 n
ist das Newton-Potential
N f(x):=
Z
ΩΦ(x−y)f(y)dy, x∈Ω, eine stetige lineare Abbildung N : Lp(Ω)→Lq(Ω)mit
kNkL(Lp(Ω),Lq(Ω))≤C(diamΩ,n,p,q).
Hierbei bezeichnet
Φ(x):=
(−2π1 log|x| f¨ur n=2
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n(n−2)ωn·|x|1n−2 f¨ur n≥3 die Fundamentall¨osung der Laplace-Gleichung.
Hinweis: Ein Teil der Behauptung wurde schon in ¨Ubungsaufgabe 4 der 1. Serie bewiesen, daraus folgt die Behauptung f¨ur p>n/2 direkt aus der H¨olderungleichung. F¨ur 1≤p≤ n/2, p≤q<∞machen Sie sich zun¨achst klar, f¨ur welche Exponenten r (abh¨angig von der Dimension n=2 oder n>2)Φ(x−.)∈Lr(Ω), bevor Sie das Newton-Potential mit der H¨olderungleichung absch¨atzen. F¨ur den dann verbleibenden Fall 1≤p≤n/2, 1≤q<p reicht dann eine nochmalige Anwendung der H¨olderungleichung.
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Aufgabe 72
[Interpolationslemma f ¨ur Sobolevfunktionen]Beweisen Sie:
(i) F¨ur u∈W2,p(Rn), 1≤p<∞, gilt
kDukLp(Rn)≤C(n,p)kuk1/2Lp(Rn)kD2uk1/2Lp(Rn).
(ii) F¨urΩ⊂⊂Rnoffen mit∂Ω∈C1,1und u∈W2,p(Ω),1≤p<∞gilt f¨urε∈(0,1) die Absch¨atzung
kDukLp(Ω)≤εkD2ukLp(Ω)+C(Ω,n,p)1
εkukLp(Ω).
Hinweis zu (i): Betrachten Sie zun¨achst W¨urfel Qrder Seitenl¨ange r>0 und interpolieren Sie mit Hilfe des Ehrling Lemmas, um
kDukLp(Q1)≤ kD2ukLp(Q1)+C(n,p)kukLp(Q1)
zu erhalten, bevor Sie diese Ungleichung auf Qrmittels v(x):=u(rx)skalieren. Anschlie- ßend ¨uberdecken Sie den RaumRnbis auf eineLn-Nullmenge durch abz¨ahlbar viele paar- weise disjunkte W¨urfel und addieren die Absch¨atzungen auf den W¨urfeln auf. Abschlie- ßend setzen Sie
r :=
s kukLp(Rn)+ε
kD2ukLp(Rn)+ε und lassenεgegen Null gehen.
Hinweis zu (ii): Setzen Sie mit dem Fortsetzungsoperator aus Satz 3.25 die Funktion u als W2,p-Funktion auf den ganzen RaumRnfort und benutzen Sie (i).
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