Ubungen zur Vorlesung ¨ Partielle Differentialgleichungen II

Rheinisch-Westf¨alische Technische Hochschule Aachen Institut f¨ur Mathematik

Prof. Dr. Heiko von der Mosel Dipl. Math. Simon Blatt

Ubungen zur Vorlesung ¨ Partielle Differentialgleichungen II

Serie 14 vom 6.4.2006

Aufgabe 53

Sei Ω⊂Rⁿ offen. Dann heißt f :Ω→Rh¨olderstetig zum Exponentenα ∈(0,1], also f∈C^0,α(Ω),wenn

H¨ol_Ω,αf := sup

x,y∈Ω x6=y

|f(x)−f(y)|

|x−y|^α <∞.

Zeigen Sie:

(i) H¨ol_Ω,αist eine Halbnorm auf C^0,α(Ω).

(ii) F¨ur ˜f :Ωσ:={x/σ: x∈Ω} →R,σ>0, definiert durch ˜f(x):=f(σx)gilt H¨ol_Ωσ,αf˜=σ^αH¨ol_Ω,αf.

(iii) F¨ur f,g∈C^0,α(Ω)gilt

H¨ol_Ω,α(f g)≤H¨ol_Ω,αf· kgk_L∞(Ω)+H¨ol_Ω,αg· kfk_L∞(Ω).

(iv) F¨urΩ1,Ω2⊂Rⁿ, T∈C^0,α(Ω1,Rⁿ)mit T(Ω1)⊂Ω2und f ∈C^0,β(Ω2),β ∈(0,1], gilt f◦T∈C^{0,α β}(Ω1)mit

H¨ol_{Ω1,α β}(f◦T)≤H¨ol_Ω2,βf·(H¨ol_Ω1,αT)^β.

Aufgabe 54

F¨ur f :Ω→R,Ω⊂⊂Rⁿ,θ∈(0,1/2)mit osc

B_{θ ρ}(y)f≤1 2 osc

B_ρ(y)f<∞ f¨ur alle B_ρ(y)⊂Ω gilt: f ∈C^0,α(Ω)mit

α=−log 2 logθ.

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Aufgabe 55

Beweisen Sie mit Hilfe des Ehrling-Lemmas (Lemma 3.4 der Vorlesung) und des Einbet- tungssatzes f¨ur H¨olderr¨aume, Proposition 3.7 bzw. 3.9 der Vorlesung, die folgenden beiden Interpolationsungleichungen, wobeiΩ⊂⊂Rⁿmit∂Ω∈C^0,1:

(i) Sei u∈C^2,α(Ω), α ∈(0,1], dann existiert zu jedem ε >0 eine Konstante C= C(Ω,n,α,ε), so dass

kuk_C2(Ω)≤εkuk_C2,α(Ω)+C(Ω,n,α,ε)kuk_L2(Ω).

(ii) Sei u∈C²(Ω),dann existiert zu jedemε>0 eine Konstante C=C(Ω,n,ε), so dass kuk_C1(Ω)≤εkuk_C2(Ω)+C(Ω,n,ε)kuk_L2(Ω).

Aufgabe 56

Seienα,β ∈(0,1)und C_l,β^k,α(Rⁿ×[0,∞))der Raum der aufRⁿ×[0,∞)definierten Funk- tionen, die zum Exponentenαh¨olderstetige k−te Ableitungen nach x∈Rⁿund zum Expo- nentenβh¨olderstetige l−te Ableitungen bzgl. t∈[0,∞)besitzen. F¨ur g∈C_0,β^0,α(Rⁿ×[0,∞)) definiere

H¨olRⁿ×[0,∞),(α,β)g := sup

(x,t),(y,s)∈R^n×[0,∞)

(x,t)6=(y,s)

|g(x,t)−g(y,s)|

|x−y|^α+|t−s|^β.

Zeigen Sie: F¨ur u∈C_1,α/2^2,α (Rⁿ×[0,∞))mit H(u):=H¨ol

Rⁿ×[0,∞),(α,α/2)D²u+H¨ol

Rⁿ×[0,∞),(α,α/2)∂_tu<∞ gilt die Ungleichung

H(u)≤C(n,α)H¨ol

Rⁿ×[0,∞),(α,α/2)(∂_t−∆)u.

Hinweise: Gehen Sie wie im Beweis zu Proposition 5.2 der Vorlesung vor. Reskalieren Sie dabei parabolisch (vgl. Kapitel I.3), d.h.(x,t)7→(sx,s²t),und benutzen Sie abschlie- ßend anstelle der Cauchy-Absch¨atzungen f¨ur harmonische Funktionen die entsprechenden Absch¨atzungen f¨ur L¨osungen der W¨armeleitungsgleichung, Korollar 1.43 der Vorlesung.

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