Absch¨ atzungen f¨ ur komplexe Ableitungen
Ist f auf einer Kreisscheibe mit Radius>r um z analytisch, so gilt
|f(n)(z)| ≤ n!
rn max
|w−z|=r|f(w)|.
Absch¨atzungen f¨ur komplexe Ableitungen 1-1
Beweis:
Integralformel f¨ur Ableitungen,
f(n)(z) = n!
2πi Z
C
f(w)
(w −z)n+1dw,
f¨ur einen Kreis
C : w(t) =z +reit, 0≤t≤2π ,
um z mit Radius r =⇒
f(n)(z)
=
n!
2πi
2π
Z
0
f(z+reit)
rn+1e(n+1)it ireitdt
| {z }
dw
≤ n!
rn 1 2π
2π
Z
0
|f(z +reit)|dt ≤ n!
rn max
|w−z|=r|f(w)|
Absch¨atzungen f¨ur komplexe Ableitungen 2-1
Beispiel:
illustriere die Absch¨atzung f¨ur
f(z) = 1
z, f(n)(z) = (−1)nn!z−(n+1) auf einer Kreisscheibe C : |w−z|<r mit r <|z| Absch¨atzung mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel
|f(n)(z)| ≤ n!
rn max
|w−z|=r|f(w)|= n!
rn 1
|z| −r geringf¨ugig schlechter als exakter Wert
|f(n)(z)|= n!
|z|n+1
denn
0<r<|z|max rn(|z| −r) = |z|n+1
(n+ 1)(1 + 1/n)n ≥ |z|n+1 (n+ 1)e (Schranke um den Faktor (n+ 1)e gr¨oßer)
Absch¨atzungen f¨ur komplexe Ableitungen 3-1
