F¨ur hinreichend glatte Funktionen ist also die Reihenfolge partieller Ableitungen vertauschbar

Vertauschbarkeit partieller Ableitungen

Sind die ersten und zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion f : D 3Rⁿ→Rstetig, so gilt

∂j∂kf =∂k∂jf .

F¨ur hinreichend glatte Funktionen ist also die Reihenfolge partieller Ableitungen vertauschbar. Insbesondere rechtfertigt dies die

Multiindex-Schreibweise.

Angewandt auf die Komponenten gilt die Aussage ebenfalls f¨ur vektorwertige Funktionen f : D 3Rⁿ→R^m.

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Beweis

Variablen x<sub>`</sub>, `6=j,k, irrelevant f¨ur die partielle Ableitungen ∂_j,∂_k betrachte o.B.d.A. eine bivariate Funktionf(x,y)

bezeichne mit

g(x) = f(x,B)−f(x,A), h(y) = f(b,y)−f(a,y) die Differenzen in y- bzw. x- Richtung und berechne

Q =f(b,B)−f(b,A)−f(a,B)+f(a,A) mit Hilfe des eindimensionalen Mittelwertsatzes (MWS) auf zwei verschiedene Arten

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Q = [f(b,B)−f(b,A)]−[f(a,B)−f(a,A)]

= g(b)−g(a)

MWS= (b−a)gx(c)

= (b−a)[fx(c,B)−fx(c,A)]

MWS= (b−a)(B−A)fxy(c,C) f¨ur ein c ∈(a,b) und C ∈(A,B)

Q = [f(b,B)−f(a,B)]−[f(b,A)−f(a,A)]

= h(B)−h(A)

MWS= (B−A)hy(C^?)

= (B−A)[fy(b,C^?)−fy(a,C^?)]

MWS= (B−A)(b−a)fyx(c^?,C^?) f¨ur ein c^?∈(a,b) und C^? ∈(A,B)

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Gleichsetzen =⇒

fxy(c,C) =fyx(c^?,C^?)

Verkleinerung des Rechtecks durch Grenz¨ubergang (b→a,B →A) =⇒ fxy(a,A) =fyx(a,A)

aufgrund der Stetigkeit der gemischten zweiten Ableitungen

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