Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann
Ubung zur Analysis 3¨ Blatt 8
Zusatzaufgabe 5. Es sei f : R → C zweimal stetig differenzierbar und es gelte f, f0, f00∈L1(R). Zeigen Sie dieFourierumkehrformel:
f(x) = 1
√ 2π
Z
R
f(ξ)eˆ iξxdξ in folgenden Schritten
(a) Die Fouriertransformierte ˆfist eineL1-Funktion. Zeigen Sie daf¨ur, dass|ξ2f(ξ)| ≤ kf00k1 gilt.
L¨osung: Nach Blatt 6, Aufgabe 2(b), und nach Definition der Fouriertransfor- mation gilt
|ξ2f(ξ)|b =|ξ(fd0)(ξ)|=|(fd00)(ξ)| ≤ kf00k1
f¨ur alle ξ ∈ R. Somit ist kf00k1/|ξ|2 auf R\[−1,1] eine integrierbare Majorante von fb. Auf [−1,1] istfbintegrierbar, weil durch kfk1 beschr¨ankt.
(b) √1
2π
R
R
fˆ(ξ)eiξxdξ= limt→0 √1 2π
R
R
fˆ(ξ)e−t2ξ2/2eiξxdξ. (Warum?)
L¨osung: Da limt→0e−t2ξ2/2 = 1 f¨ur alle ξ∈R und|e−t2ξ2/2| ≤1 f¨ur alle t, ξ∈R, folgt die Behauptung aus dem Satz ¨uber dominierte Konvergenz.
(c) limt→0 √1 2π
R
R
fˆ(ξ)e−t2ξ2/2eiξxdξ = limt→0 √1 2π
R
Re−z2/2f(x+tz)dz: Fubini, Ver- tauschung der Integrationsreihenfolge und Aufgabe 4.
L¨osung: Daξ7→fˆ(ξ)e−t2ξ2/2eiξx integrierbar ist, folgt nach Tonelli und Fubini Z
R
fˆ(ξ)e−t2ξ2/2eiξxdξ= Z
R
Z
R
f(y)e−iξye−t2ξ2/2eiξxdy dξ
= Z
R
f(y) Z
R
e−iξye−t2ξ2/2eiξxdξ dy.
Wir substituieren y=x+tzund η=tξ. Wegen dy/dz =tund dη/dξ=tfolgt Z
R
fˆ(ξ)e−t2ξ2/2eiξxdξ= Z
R
f(x+tz) Z
R
eiξ(x−(x+tz))
e−t2ξ2/2t dξ dz
= Z
R
f(x+tz) Z
R
e−iηze−η2/2dη dz.
Nach Aufgabe 4 ist das Integral ¨uberηgerade e−z2/2. Damit folgt die Behauptung.
(d) Der Grenzwert istf(x).
L¨osung: Daf stetig ist, konvergiert f¨ur jedesz∈Rder Ausdruck e−z2/2f(x+tz) f¨ur t → 0 gegen f(x)e−z2/2. Da f nach Blatt 6, Aufgabe 2, beschr¨ankt ist und z 7→ e−z2/2 integrierbar ist, folgt mit dem Satz ¨uber dominierte Konvergenz und mit dem Gaußschen Fehlerintegral
limt→0
√1 2π
Z
R
e−z2/2f(x+tz)dz=f(x) 1
√2π Z
R
e−z2/2dz=f(x).
1
