Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann
Ubung zur Analysis 1¨ Blatt 7
Abgabe bis Do, 04.12., 12 Uhr
Zusatzaufgabe 5. Gegeben sind die Funktionen f: R→Rundg: (0,∞)→R,
f(x) =
(1, x∈Q,
0, sonst, g(x) =
(1/q, x=p/q f¨ur teilerfremdep, q ∈N, 0, sonst.
An welchen Stellen sind diese Funktionen jeweils stetig beziehungsweise unstetig?
Begr¨unden Sie Ihre Antwort.
L¨osung:
f ist ¨uberall unstetig:
Sei x ∈ R. Dann existiert einer Folge rationaler Zahlen (xn)n mit limnxn = x (z.B. Dezimalzahlentwicklung verwenden).
Falls x6∈ Qfolgt limf(xn) = 16= 0 =f(x). Falls x∈Q, dann konvergiert yn:=
xn+√
2/nauch gegenxund jedesynist irrational, also limf(yn) = 06= 1 =f(x).
In beiden F¨allen folgt, dass f an xnicht stetig ist.
g ist an allen irrationalen Stellen stetig und an allen rationalen unstetig:
F¨ur rationale x findet man wie oben eine Folge irrationaler yn mit limnyn = x, und dann ist limng(yn) = 06=f(x), also g anx unstetig.
F¨ur irrationales x und gegebenes >0 findet manq mit 1/q < . Die Menge
M :={p/q0 :p= 1, . . . , q0 −1,1≤q0 ≤q}
ist dann endlich und x 6=M, also ist δ := min{|x−y| : y ∈ M}/2> 0 und f¨ur alle y∈(0,1) mit|x−y|< δ folgt y6∈M und somit f(y)<1/q < . Somit istg stetig beix.
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