PD Dr. T. Timmermann timmermt@uni-muenster.de
Gew¨ohnliche Differenzialgleichungen Ubungsblatt 13¨
Abzugeben bis Freitag, den 27. Januar, vor der Vorlesung
Aufgabe 1. (Lineare AWP h¨oherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten) Bestimmen Sie die L¨osungen der folgenden Anfangswertprobleme:
(a) x00(t)−4x0(t) + 3x(t) = 0 mit x(0) =−1 undx0(0) =−5;
L¨osung: char. Polynom: λ2−4λ+ 3;
Wurzeln:λ1,2= 2±√
4−3, alsoλ1 = 3,λ2= 1;
allg. L¨osung:x(t) =c1et+c2e3t;
Koeffizienten: −1 = x(0) = c1+c2 und −5 =x0(0) = c1 + 3c2 liefert −4 = 2c2, also c2 =−2 undc1 = 1;
L¨osung des AWP:x(t) = et−2e3t.
(b) x00(t) + 2x0(t) +x(t) =tmitx(0) = 0 undx0(0) = 1.
(Bemerkung: Die inhomogene DGL hat eine spezielle L¨osung der Form xp(t) = c1t+c0 mit Koeffizientenc1, c0 ∈R, die man durch Einsetzen in die DGL findet.) L¨osung: Ansatz spezielle L¨osung:xp(t) =c1t+c0;
Koeffizienten: t=x00p(t) + 2x0p(t) +xp(t) = 2c1+c1t+c0 liefertc1 = 1, c0=−2;
charak. Polynom:λ2+ 2λ+ 1 = (λ+ 1)2; Wurzeln:λ1,2 =−1;
allgemeine L¨osung:x(t) =t−2 + (d1t+d0)e−t;
Koeffizienten: 0 =x(0) =−2 +d0; 1 =x0(0) = 1 +d1−d0 liefertd0 = 2 =d1; L¨osung des AWP:x(t) =t−2 + 2(1 +t)e−t.
Aufgabe 2. (Herabrutschende Kette)
Eine Kette der L¨ange c+d mit Masse m h¨angt zum Zeitpunkt t = 0 ¨uber einem glatten Rundholz (mit idealisiertem Durchmesser 0) c Meter auf der einen und d > c Meter auf der anderen Seite herab und gleitet infolge der Erdanziehung g herunter.
Zum Zeitpunktt h¨angt dann von der Kette auf einer Seite die L¨anged+x(t) und die Masse d+x(t)d+c m, auf der anderen Seite die L¨angec−x(t) und die Masse c−x(t)d+c m, und die auf die Differenz einwirkende Erdbeschleunigung gf¨uhrt nach Umstellen zu der DGL
x00(t)− 2g
c+dx(t) = d−c c+dg.
(a) Bestimmen Sie die allgemeine L¨osung der zugeh¨origen homogenen DGL.
L¨osung: Wir setzenυ:=
q 2g c+d.
Die Wurzeln des charakteristischen Polynomsλ2− c+d2g sind±υ;
die allgemeine L¨osung der homogenen Gleichung ist folglichxh(t) =C1eυt+C2e−υt mitC1, C2 ∈R.
(b) Bestimmen Sie f¨ur die inhomogene DGL eine konstante L¨osung und die allgemeine L¨osung.
L¨osung: Eine L¨osung der inhomogenen Gleichung ist offenbarxp(t) = c−d2 ; die allgemeine L¨osung ist alsox(t) = c−d2 +C1eυt+C2e−υt mitC1, C2∈R.
(c) Bestimmen Sie die L¨osung des Anfangswertproblems x(0) = 0, x0(0) = 0.
L¨osung: 0 =x(0) = c−d2 +C1+C2 und 0 =x0(0) =υ(C1−C2) liefertC1 =C2=
d−c
4 , alsox(t) = d−c4 (eυt+ e−υt−2) = d−c2 (coshυt−1).
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