Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann
Ubung zur Analysis 3¨ Blatt 2
Abgabe bis Do, 5.11., 12 Uhr
Aufgaben 1 und 2 zur Bearbeitung in der ¨Ubung Aufgaben 3-5 zur selbst¨andigen Bearbeitung
Aufgabe 1. Sei (X,B, µ) ein Maßraum.
(a) Sei A1 ⊆A2 ⊆ · · · eine wachsende Folge von messbaren Teilmengen von X (d.h.
An∈ B) und A=S
nAn. Zeigen Sie, dassµ(A) = limn→∞µ(An).
(Hinweis: Schreiben Sie A als disjunkte Vereinigung geeigneter Mengen.) (b) Sei B1 ⊇ B2 ⊇ · · · eine fallende Folge von Teilmengen von X und B = T
nBn. Zeigen Sie: Fallsµ(Bn)<∞ f¨ur ein n, so gilt µ(B) = limn→∞µ(Bn).
(c) Zeigen Sie, dass im Fall µ(Bn) = ∞ f¨ur alle n in (b) keine Aussage ¨uber µ(B) m¨oglich ist.
Aufgabe 2. Zeigen Sie, dass
R∼={(x,0) :x∈R} ⊆R2
als Teilmenge vonR2 eine Lebesgue-Nullmenge ist. Hinweis: es gen¨ugt, zu zeigen, dass An:= [−n, n]×{0}eine Nullmenge ist, und hier hilft eine geeignete ¨Uberdeckung durch W¨urfel.
Aufgabe 3. F¨urr∈(0,∞) betrachten wir die Skalierungsabbildung hr:Rd→Rd, x7→rx.
Zeigen Sie, dass f¨ur jede Teilmenge S ⊆Rd gilt:
(a) µ∗(hr(S)) =rdµ∗(S). (Hinweis: Es gen¨ugt, “≤” zu zeigen. Warum?) (b) S ist genau dann Lebesgue-messbar, wennhr(S) Lebesgue-messbar ist.
Aufgabe 4. Sei (X, d) ein metrischer Raum und A ⊆X nicht leer. Zeigen Sie, dass die Abstandsfunktion
dA:X→[0,∞), x7→ inf
a∈Ad(x, a), die Ungleichung
|dA(x)−dA(y)| ≤d(x, y) f¨ur alle x, y∈X erf¨ullt und insbesondere stetig ist.
Zusatzaufgabe 5. Sei d∈N, sei U ⊆Rd offen und sei f:U → Rd+1 stetig differen- zierbar. Zeigen Sie:
(a) Im Fall d= 1 ist f¨ur jedes kompakte Intervall [a, b] ⊆U das Bild f([a, b]) ⊆ R2 eine Lebesgue-Nullmenge. Nehmen Sie dazu eine Skizze zur Hilfe.
(b) Auch im allgemeinen Fall ist f¨ur jeden abgeschlossenen W¨urfel Q ⊆ U das Bild f(Q)⊆Rd+1 eine Lebesgue-Nullmenge.
(c) Das Bild f(U) ⊆ Rd+1 ist eine Lebesgue-Nullmenge. Verwenden Sie dazu ohne Beweis, dass eine Folge abgeschlossener W¨urfel Qn⊆U mitS
nQn=U existiert.
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