Zeigen Sie: a) Mit a−j

J. Müller WS 2017/2018 17.01.2018 11. Übung zur Elementaren Zahlentheorie und Algebra

A48: Es seien R ein kommutativer Ring und (a_j),(b_j)∈R^N0. Zeigen Sie:

a) Mit a−j := 0 für j ∈N gilt (a_j

·(δ_j,m) = (aj−m)für alle m ∈N0. b) (aj)·(bj) = (bj)·(aj).

A49: Es sei R ein Integritätsring. Beweisen Sie:

a) Für P, Q∈R[X] gilt deg(P Q) = degP + degQ.

b) R[X] ist ein Integritätsring.

A50: Zeigen Sie: Ist R ein kommutativer Ring, so ist die Faltung · auf R^N0 assoziativ.

A51: Zeigen Sie:

a) Ist P ∈Z[X] normiert, so ist jede rationale Wurzel von P eine ganze Zahl.

b) Sind d∈N und x∈Q mit x^d∈Z, so ist x∈Z.

A52: Beweisen Sie die Eindeutigkeit der Zerlegung aus Satz 6.18 (Division mit Rest).