Universität Tübingen Mathematisches Institut
Prof. Dr. Christian Lubich Tübingen, den 25.01.2021
11. Übungsblatt zur Analysis I
Aufgabe 61: Seiena, b∈Rmita < b undf, g: [a, b]→Rstetig auf [a,b] und differenzierbar auf (a, b), mit g(x)6= 0 undg0(x)6= 0für alle x∈(a, b). Zeigen Sie:
Wenn f(a)g(a) = fg(b)(b), dann gibt es einc∈(a, b)mit f(c)g(c) = fg00(c)(c).
Aufgabe 62: Zeigen Sie, dass ln(x+ 1)≥ x+22x für alle x≥0.
Aufgabe 63: Seiena1, . . . , an∈(0,∞). Zeigen Sie: Wennax1+ax2+. . .+axn≥nfür alle reellenx, dann ist a1·a2· · ·an= 1.
Hinweis: Untersuchen Sie die Funktionf :R→R, mitf(x) =ax1+ax2 +. . .+axn auf Extrema.
Aufgabe 64: Bestimmen Sie die Grenzwerte, falls sie existieren:
x→0lim tanx
x , lim
x→π2(x−π
2) tanx .
Aufgabe 65: Bestimmen Sie den folgenden Grenzwert, falls er existiert:
x→0+lim x(lnx)2.
Aufgabe 66: Untersuchen Sie, ob die Funktionen
f(x) =
|x2−1| für |x| ≥1
e−ex2 für |x| ≤1 und g(x) = 1−p
|x2−1|für x∈R
Extremwerte besitzen.
Abgabe über URM bis zum 01.02.2021, 12:00 Besprechung in den Übungen am 03.-05.02.2021
![und es gelte f(a) > g(a) und f (b) < g(b). Zeigen Sie, dass es einen Punkt x ∗ ∈ [a, b]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)