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Universität Tübingen Mathematisches Institut

D. Mansour, J. Seyrich Tübingen, den 05.06.2013

7. Übungsblatt zu Algorithmen der Numerischen Mathematik

Aufgabe 23: (Eigenschaften der Singulärwertzerlegung)

Sei UTAV = Σ = diag(σ1, . . . , σn) die Singulärwertzerlegung von A∈Rm×n mit Singulärwerten σ1 ≥ . . . σr > σr+1 = · · · = σn = 0, wobei U = (u1, . . . um) ∈ Rm×m und V = (v1, . . . , vn) ∈ Rn×n. Zeigen Sie:

A=

r

X

i=1

σiuiviT,

kAk2 =σ1,

kAk2F =σ12+· · ·+σr2,

wobei kAkF die Frobeniusnorm aus Aufgabe 22 bezeichnet. Folgern Sie daraus:

Rang A=r ,

Ker A=< vr+1, . . . , vn > , Im A=< u1, . . . , ur> .

Aufgabe 24: (Waidmanns Heil)

Führen Sie die in der Vorlesung beschriebene “Zickzackjagd nach Nichtnullelementen” durch für

BQ(1) =

1 −1 0 1 1 1 0 0 −1

.

Besprechung der Aufgaben in den Übungen am 12.06.2013.

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